九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 3圆周角习题课件 华东师大版

3 圆周角 1 理解圆周角的概念 会判断一个角是否为圆周角 重点 2 掌握直径所对圆周角的特征和圆周角的性质 会推导圆周角定理 能运用圆周角定理解决问题 重点 难点 3 通过结合圆周角定理的推导过程 渗透特殊到一般 转化与化归等数学思想 难点 圆周角的概念 性质及圆周角定理1 圆周角 顶点在 并且两边都与圆 的角叫做圆周角 2 半圆或直径所对的圆周角 1 性质 半圆或直径所对的圆周角都 都等于 2 应用 的圆周角所对的弦是圆的直径 圆上 相交 相等 90 90 3 圆周角定理 如图 当圆心o在圆周角的一边上时 oa oc a c 又 boc a c 思考 1 如图 当圆心o在圆周角的内部时 bac与 boc的上述关系是否还成立 为什么 提示 理由如下 作直径ad 由图 推理得 bad 同理 cad bad cad 即 bac 成立 2 如图 当圆心o在圆周角的外部时 bac与 boc的上述关系是否还成立 为什么 提示 理由如下 作直径ad 由图 推理得 bad 同理 cad cad bad 即 bac 成立 总结 圆周角定理 在一个圆中 一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角 在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也 一半 相等 相等 打 或 1 顶点在圆上的角叫做圆周角 2 同弧所对的圆周角相等 3 90 的圆周角所对的弧为半圆 4 在同圆中 圆周角相等 所对的弦也相等 5 在等圆中 弧相等 则它所对的圆周角 圆心角及所对的弦都相等 知识点1圆周角定理 例1 2012 潍坊中考 如图 三角形abc的两个顶点b c在圆上 顶点a在圆外 ab ac分别交圆于e d两点 连结ec bd 1 求证 abd ace 2 若 bec与 bdc的面积相等 试判定三角形abc的形状 解题探究 1 abd与 ace中 有相等的角吗 提示 有一公共角 bad cae 如何找出 abd与 ace中另外相等的一组角 提示 所对的圆周角相等 ebd ecd 由 可知 abd与 ace有 所以可以得出 abd ace 两对对应角相等 2 如何说明s ace s abd 提示 s bec s bcd s ace s abc s bec s abd s abc s bcd s ace s abd 由 的s ace s abd 结合 1 的 abd ace 可以得出 abd与 ace对应边之比等于 即ab 所以 abc为 三角形 1 ac 等腰 总结提升 利用圆周角定理进行证明时的两点注意1 圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中 2 在证明时 此定理可以直接作为已知条件使用 知识点2圆周角定理的综合应用 例2 2012 沈阳中考 如图 o是 abc的外接圆 ab是 o的直径 d为 o上一点 od ac 垂足为e 连结bd 1 求证 bd平分 abc 2 当 odb 30 时 求证 bc od 思路点拨 1 由od ac od为半径 根据垂径定理 即可得又由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可证得bd平分 abc 2 首先由ob od 易求得 aod的度数 又由od ac于e 可求得 a的度数 然后由ab是 o的直径 根据圆周角定理 可得 acb 90 继而可证得bc od 自主解答 1 od ac od为半径 cbd abd bd平分 abc 2 ob od obd odb 30 aod obd odb 30 30 60 又 od ac于e oea 90 a 180 oea aod 180 90 60 30 又 ab为 o的直径 acb 90 在rt acb中 bc od 总结提升 利用圆周角定理推论的两种思路1 见直径 通常构建90 的圆周角 利用直角三角形知识解决 2 见90 的圆周角 通常作直径 构建直角三角形 题组一 圆周角定理1 2013 滨州中考 如图 在 o中 圆心角 boc 78 则圆周角 bac的大小为 a 156 b 78 c 39 d 12 解析 选c 根据在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半 所以 2 已知ab cd是 o的两条直径 abc 30 那么 bad a 45 b 60 c 90 d 30 解析 选d 因为 abc与 adc是同一条弧所对的圆周角 所以 abc adc 30 又因为od oa 所以 bad adc 30 3 2013 邵阳中考 如图 弦ab cd相交于点o 连结ad bc 在不添加辅助线的情况下 请在图中找出一对相等的角 它们是 解析 由对顶角相等 可得到 aoc bod aod boc 由同弧所对的圆周角相等 可得到 a c b d 答案 本题答案不唯一 如 a c等 4 2013 黔西南州中考 如图所示 已知 bac cda 20 则 abo的度数为 解析 连结oa oc 则 cob 2 bac 40 aoc 2 cda 40 所以 aob 80 所以 abo 180 80 2 50 答案 50 5 如图 abc内接于 o ab 8 ac 4 d是ab边上一点 p是优弧bac的中点 连结pa pb pc pd 当bd的长度为多少时 pad是以ad为底边的等腰三角形 并加以证明 解析 当bd 4时 pad是以ad为底边的等腰三角形 理由如下 p是优弧bac的中点 pb pc 在 pbd与 pca中 pbd pca s a s pd pa 即bd 4时 pad是以ad为底边的等腰三角形 题组二 圆周角定理的综合应用1 2013 舟山中考 如图 o的半径od 弦ab于点c 连结ao并延长交 o于点e 连结ec 若ab 8 cd 2 则ec的长为 解析 选d 连结be 根据直径所对的圆周角为直角 知be ab be oc且be 2oc 根据垂径定理得 ac 4 oc od cd oa 2 在 aco中 根据勾股定理得 ac2 oc2 ao2 即42 oa 2 2 ao2 得oa 5 oc 3 be 6 在 bce中 根据勾股定理得 ec2 bc2 be2 2 如图 已知 o的两条弦ab cd相交于ab的中点e 且ab 4 de ce 3 则cd的长为 a 4b 5c 8d 10 解析 选b 连结ac bd 如图 a d c b aec deb ae be ce de 设ce x 则de 3 x x x 3 2 2 解得 x 1或x 4 不合题意 应舍去 ce 1 cd 3 1 1 5 变式备选 如图 已知ab为 o的直径 c为 o上一点 cd ab于d ad 9 bd 4 以c为圆心 cd为半径的圆与 o相交于p q两点 弦pq交cd于e 则pe eq的值是 a 24b 9c 6d 27 解析 选d 延长dc交 c于m 延长cd交 o于n 连结pc nq 连结ac bc ab为 o的直径 acb 90 cab abc 90 cd ab adc bdc 90 cad acd 90 acd abc acd cbd ad 9 bd 4 cd 6 在 o中 pcn nqp cpq qnc pec neq pe qe ce ne 同理 在 c中 可得 pe qe de me 设ce x 则de 6 x 则 6 x x 6 x 6 x 6 解得x 3 所以 ce 3 de 6 3 3 em 6 3 9 所以pe eq 3 9 27 3 2013 常州中考 如图 abc内接于 o bac 120 ab ac bd为 o的直径 ad 6 则dc 解析 因为 bac 120 ab ac 所以 abc acb 30 所以 bda 30 因为bd为直径 所以 bad 90 所以 abd 60 所以 dbc 30 在rt abd中 在rt bcd中 答案 4 如图 ab cd是 o的弦 ab cd be是 o的直径 若ac 3 则de 解析 连结ae be是 o的直径 bae 90 即ab ae ab cd ae cd acd cae 180 四边形acde是 o的内接四边形 cae cde 180 acd cde 答案 3 5 如图 在 o中 直径ab与弦cd相交于点p cab 40 apd 65 1 求 b的大小 2 已知ad 6 求圆心o到bd的距离 解析 1 apd c cab c 65 40 25 b c 25 2 作oe bd于e 则de be 又 ao bo