山东日照高三数学上学期期末考试试卷文

山东省日照市2018 2019学年高三 上 期末数学试卷 文科 一 选择题 本大题共12小题 共60 0分 1 己知集合 则 A B C D 答案 C 解析 分析 可解出集合B 然后进行交集的运算即可 详解 根据集合交集的概念得到 故选 C 点睛 考查列举法 描述法的定义 以及交集的运算 2 复数满足 为虚数单位 则复数的虚部为 A B C D 答案 B 解析 分析 根据复数的除法运算 分子分母同时乘以分母的共轭复数 进而化简即可得到复数的虚部 详解 z 3 6i2 i 3 6i2 i2 i2 i 6 15i 6i25 3i 所以复数z的虚部为 3 所以选B 点睛 本题考查了复数基本运算和基本概念 注意复数的虚部只有数字 不含虚数单位 属于基础题 3 右边茎叶图记录了甲 乙两组各十名学生在高考前体检中的体重 单位 kg 记甲组数据的众数与中位数分别为x1 y1 乙组灵气的众数与中位数分别为x2 y2 则 A x1 x2 y1 y2 B x1 x2 y1 y2 C x1y2 D x1 x2 y1 y2 答案 D 解析 甲组数据的众数为x1 64 乙组数据的众数为x2 66 则x1 x2 甲组数据的中位数为y1 64 662 65 乙组数据的中位数为y2 66 672 66 5 则y10时 y 12x 12x是减函数 不满足条件 B y x2 2x是偶函数 当x 0时 y x2 2x x2 2x是增函数 满足条件 C y lnx的定义域为0 定义域关于原点不对称 为非奇非偶函数 不满足条件 D y 2 x在0 上是减函数 且函数为非奇非偶函数 不满足条件 故选B 点睛 本题主要考查函数的奇偶性与单调性 熟记函数的基本性质是解答的关键 意在考查综合运用所学知识解决问题的能力 属于简单题 6 已知双曲线x2a2 y2b2 1a 0 b 0的两条渐近线均与圆C x2 y2 6x 5 0相切 则该双曲线的渐近线方程是 A y 55x B y 255x C y 52x D y 53x 答案 B 解析 分析 根据渐近线与圆相切 利用圆心到渐近线距离等于半径 求出ba 从而得到渐近线方程 详解 C x2 y2 6x 5 0可化为C x 32 y2 4 设双曲线的一条渐近线方程为bx ay 0 且双曲线bx ay 0的渐近线与圆C x 32 y2 4相切 所以圆心3 0到渐近线距离为2 3ba2 b2 2 ba 255 所以双曲线的渐近线方程为y 255x 本题正确选项 B 点睛 本题考查直线与圆相切位置关系问题以及双曲线简单几何性质 属于基础题 7 一个几何体的三视图如图所示 其中主 正 视图是边长为2的正三角形 则该几何体的体积为 A 1 B 33 C 3 D 3 答案 B 解析 分析 根据三视图还原几何体 利用体积公式直接求解即可 详解 由三视图可得几何体直观图如下图所示 可知 主视图是边长为2的正三角形PAC 平面PAC 平面ABC 高是3 其中DA DB DC 1 PD 平面ABC ABC为直角三角形 AB BC 2 S ABC 12AB BC 1 所以V 13S ABC PD 33 本题正确选项 B 点睛 本题考查三视图还原几何体 锥体体积求解 关键在于能够准确还原几何体 属于基础题 8 已知下面四个命题 若x2 x 0 则x 0或x 1 的逆否命题为 若x 0且x 1 则x2 x 0 x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 命题p 存在x0 R 使得x02 x0 1 0 则 p 任意x R 都有x2 x 1 0 若p且q为假命题 则p q均为假命题 其中真命题个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 分析 对于 根据逆否命题的写法 以及或变为且得到命题正确 x 2时 x2 3x 2 0也成立 含有量词 任意 存在 的命题的否定既要换量词 又要否定结论 命题p q中只要有一个为假命题 P且q 为假命题 详解 对于 交换条件和结论 并同时否定 而且 或 的否定为 且 故 是真命题 对于 x 2时 x2 3x 2 0也成立 所以 x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 故 是真命题 对于 含有量词 任意 存在 的命题的否定既要换量词 又要否定结论 故 是真命题 对于 命题p q中只要有一个为假命题 P且q 为假命题 因而p或q 有可能其中一个是真命题 故 是假命题 故选 C 点睛 本题考查了命题的逆否关系 充分不必要条件的判定 含有量词的命题的否定及含有逻辑词 且 的命题的真值情况 属于中档题 9 若x y满足约束条件x 1 0 x y 0 x y 4 0 则y 1x的取值范围是 A 0 12 B 12 1 C 0 2 D 1 2 答案 C 解析 分析 画出可行域 将问题通过几何意义转化为可行域内的点与0 1点连线的斜率 根据图像可求解 详解 约束条件x 1 0 x y 0 x y 4 0的可行域如图所示 阴影部分 y 1x的几何意义是可行域内的点与0 1连线的斜率 由可行域可知0 y 1x kOA 由x 1x y 4 可得A1 3 kOA 3 11 2 y 1x 0 2 本题正确选项 C 点睛 本题考查线性规划求解最值类问题 关键是能够明确所求式子的几何意义 通过数形结合解决 10 2018年9月24日 阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主 英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想 这一事件引起了数学界的震动 在1859年 德国数学家黎曼向科学院提交了题目为 论小于某值的素数个数 的论文并提出了一个命题 也就是著名的黎曼猜想 在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题 并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为 x xlnx的结论 若根据欧拉得出的结论 估计10000以内的素数个数为 素数即质数 1ge 0 43429 计算结果取整数 A 1089 B 1086 C 434 D 145 答案 B 解析 分析 由题意可知10000以内素数的个数为 10000 10000ln10000 计算即可得到答案 详解 由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为 x xlnx 则10000以内的素数的个数为 10000 10000ln10000 100004ln10 10000lge4 2500lge 0 434292500 1086 故选 B 点睛 本题考查对数运算性质的简单应用 考查学生的审题能力 11 已知棱长为a的正四面体A BCD 则其外接球的表面积为 A 32a2 B 3a2 C 2a2 D 6a2 答案 A 解析 分析 假设外接球半径为R 利用R和a表示出OO 和DO 在Rt DOO 中利用勾股定理构造方程 求得R 从而得到结果 详解 正四面体如下图所示 由题意可知 若AO 面BCD 则球心O必在AO 上 DO 23DP 23 32a 33a AO AD2 DO 2 63a 设其外接球半径R 则OD OA R 则在Rt DOO 中 DO 2 OO 2 DO2 则63a R2 33a2 R2 R 64a 故外接球表面积为S 4 R2 4 38a2 32a2 本题正确选项 A 点睛 本题考查几何体的外接球的表面积问题 关键是需要确定球心大致位置 然后利用勾股定理构造方程求解半径 属于固定模型 12 若函数f x x3 ax2 bx c有一个极值点为m 且f m m 则关于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同实数根个数不可能为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 A 解析 分析 详解 由已知f x 3x2 2ax b 由题意 3x2 2ax b 0有两个不等实根 不妨设为m x2 因此方程3t2 2at b 0有两个不等实根m x2 即f x m或f x x2 由于m是f x 的一个极值 因此f x m有两个根 而f x x2有1或2或3个根 无论m是极大值点还是极小值点都一样 不清楚的可以画出f x 的草图进行观察 所以方程3 f x 2 2af x b 0的根的个数是3或4或5 不可能是2 故选A 点睛 本题综合考查了利用导数研究函数单调性 极值及方程根的个数等基础知识 考查了数形结合的思想方法 揄能力 分类讨论的思想方法 计算能力 分析问题和解决问题的能力 二 填空题 本大题共4小题 共20 0分 13 a 1 2 b 2 y 若a b 则b 答案 25 解析 分析 根据a b即可求出y 4 从而可求出向量b的坐标 进而求出b的值 详解 a b y 4 0 y 4 b 2 4 b 25 故答案为 25 点睛 考查平行向量的坐标关系 以及根据向量坐标求向量长度的方法 14 已知函数y 2ax 1 1 a 0且a 1 恒过定点Am n 则m n 答案 4 解析 分析 求解出A点的坐标 从而得到结果 详解 当x 1时 y 3 可知函数恒过A1 3 则 m n 4 本题正确结果 4 点睛 本题考查函数定点问题 关键是通过x的取值消除a的影响 属于基础题 15 设x 0 y 0 x y 4 则1x 4y的最小值为 答案 94 解析 分析 变形x y4 1x 4y 14 1 4 yx 4xy 之后用基本不等式 求解即可 详解 原式可变形为 x y4 1x 4y 14 1 4 yx 4xy 14 5 4 94 当且仅当x 43 y 83时取等 故答案为 94 点睛 本题考查了基本不等式及其应用 属基础题 在利用基本不等式求最值时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 即条件要求中字母为正数 定 不等式的另一边必须为定值 等 等号取得的条件 的条件才能应用 否则会出现错误 16 斐波那契数列 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契发现 因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入 故又称该数列为 兔子数列 斐波那契数列 an 满足 a1 1 a2 1 an an 1 an 2 n 3 n N 记其前n项和为Sn 设a2018 t 为常数 则S2016 S2015 S2014 S2013 用表示 答案 解析 由题意可得S2016 S2015 S2014 S2013 a2016 a2015 a2015 a2014 a2017 a2016 a2018 t 答案 三 解答题 本大题共6小题 共70 0分 17 已知数列an是递增的等比数列 且a1 a4 18 a2a3 32 1 求数列an的通项公式 2 若数列bn通项公式bn 1log2an log2an 1 求数列bn的前n项和Sn 答案 1 an 2n 2 nn 1 解析 分析 1 根据a1a4 a2a3 32和a1 a4 18求得a1和a4 利用通项公式得到q 从而可求解出通项公式 2 由 1 得到bn 然后利用裂项相消法求出Sn 详解 1 由题意知a1a4 a2a3 32 又a1 a4 18 解得 a1 2a4 16或a1 16a4 2 舍去 设等比数列的公比为q 由a4 a1q3 2q3 16 可得q 2 故an a1qn 1 2nn N 2 由题意知 bn 1log2an log2an 1 1log22n log22n 1 1nn 1 1n 1n 1 Sn b1 b2 bn 1 12 12 13 1n 1n 1 1 1n 1 nn 1 点睛 本题考查等比数列通项公式求解 裂项相消法对数列求和 属于常规题 18 如图 在平面四边形ABCD中 CD 1 BD 7 AB 4 ABC 120 DCB 120 1 求sin DBC 2 求AD 答案 1 2114 2 33 解析 分析 1 根据正弦定理可求解出结果 2 利用两角和差公式求出cos ABD 再利用余弦定理求解出结果 详解 1 在 BDC中 CD 1 BD 7 DCB 120 由正弦定理得DCsin DBC BDsin120 所以sin DBC DCBD sin120 17 32 2114 2 在 BDC中 由已知可知 DBC是锐角 又sin DBC 2114 所以cos DBC 1 21142 5714 所以cos ABD cos ABC DBC cos120 cos DBC sin120 sin DBC 12 5714 32 2114 714 在 ABD中 由余弦定理可知 AD2 AB2 BD2 2AB BDcos ABD 16 7 2 4 7 714 27 所以AD 33 点睛 本题考查两角和差公式的应用 正弦定理和余弦定理解三角形的问题 属于基础题 19 如图1 在直角 ABC中 ABC 90 AC 43 AB 23 D E分别为AC BD的中点 连结AE 将 ABC沿BD折起 使平面ABD 平面BCD 如图2所示 1 求证 AE CD 2 求三棱锥A BCD的体积 答案 1 证明见解析 2 33 解析 分析 1 利用面面垂直性质得到AE 平面BCD 然后可得结论 2 利用已知条件的数据求得 BCD面积和高AE 从而求得体积 详解 1 证明 由条件可知AB AD 而E为BD的中点 AE BD 又面ABD 面BCD 面ABD 面BCD BD 且AE 面ABD AE 平面BCD 又因为CD 平面BCD AE CD 2 由题给数据知BC 6 ABD为等边三角形 而E为BD中点 因此Rt ABE中 AE AB sin60 3 又底面BCD中BD CD 23 S BCD 12 6 3 33 故三棱锥体积V 13 33 3 33 点睛 本题考查立体几何中直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 锥体体积的求解问题 属于基础题 20 水是生命之源 但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的2 8 全世界近80 人口受到水荒的威胁 某市为了鼓励居民节约用水 计划调整居民生活用水收费方案 拟确定一个合理的月用水量标准x 吨 一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费 超出x的部分按议价收费 为了了解居民用水情况 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9组 制成了如图所示的频率分布直方图 1 求直方图中a的值 2 设该市有60万居民 估计全市居民中月均用水量不低于2 5吨的人数 并说明理由 3 若该市政府希望使82 的居民每月的用水不按议价收费 估计x的值 并说明理由 答案 1 0 3 2 16 2万 3 2 8吨 解析 分析 1 通过频率之和为1 构造方程求得结果 2 计算出样本中不低于2 5吨人数占比 从而求得全市的人数 3 由频率分布直方图频率分布可知2 5 x 3 然后根据平均分布列方程求得相应结果 详解 1 由概率统计相关知识 可知各组频率之和的值为1 即频率分布直方图各小矩形面积之和为1 0 5 0 08 0 16 0 4 0 52 0 12 0 08 0 04 2a 1 解得 a 0 3 2 由图可知 不低于2 5吨人数所占百分比为0 5 0 3 0 12 0 08 0 04 27 全市月均用水量不低于2 5吨的人数为 60 0 27 16 2 万 3 由 2 可知 月均用水量小于2 5吨的居民人数所占百分比为 73 即73 的居民月均用水量小于2 5吨 同理 88 的居民月均用水量小于3吨 故2 5 xb 0 定义椭圆C的 相关圆 方程为x2 y2 a2b2a2 b2 若抛物线x2 4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合 且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形 1 求椭圆C的方程和 相关圆 E的方程 2 过 相关圆 E上任意一点P的直线l y kx m与椭圆C交于A B两点 O为坐标原点 若OA OB 证明原点O到直线AB的距离是定值 并求m的取值范围 答案 1 椭圆C的方程为x22 y2 1 相关圆 E的方程为x2 y2 23 2 m 63或m 63 解析 分析 1 由已知条件计算出椭圆C的方程和 相关圆 E的方程 2 直线与椭圆相交 联立方程组 由OA OB求出k m之间关系 然后再表示出点到线的距离公式 即可求出结果 详解 解 1 因为若抛物线x2 4y的焦点为 0 1 与椭圆C的一个焦点重合 所以c 1 又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形 所以b c 1 故椭圆C的方程为y22 x2 1 相关圆 E的方程为x2 y2 23 2 设A x1 y1 B x2 y2 联立方程组y kx my22 x2 1得 2 k2 x2 2kmx m2 2 0 4k2m2 4 2 k2 m2 2 4 2k2 2m2 4 0 即k2 m2 2 0 x1 x2 2kmk2 2x1x2 m2 2k2 2 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 k2 m2 2 k2 2 2k2m2k2 2 m2 2m2 2k2k2 2 由条件OA OB得3m2 2k2 2 0 所以原点O到直线的距离是d m 1 k2 m21 k2 由3m2 2k2 2 0得d 63为定值 又圆心到直线的距离为63 直线与圆有公共点P 满足条件 由 0 即k2 m2 2 0 3m2 22 m2 2 0即m2 2 0 又k2 3m2 22 0 即3m2 2 所以m2 23 即m 63或m 63 综上 m 63或m 63 点睛 本题考查了直线与圆的位置关系 在计算过程中还要掌握点到线的距离公式 较为综合 需要熟练计算 并且能掌握解题方法 22 设函数f x x2 ax b ex x R 1 若a 2 b 2 求函数f x 的极值 2 若x 1是函数f x 的一个极值点 试求出a关于b的关系式 即用a表示b 并确定fx的单调区间 提示 应注意对a的取值范围进行讨论 3 在 2 的条件下 设a 0 函数g x a2 14 ex 4 若存在 1 2 0 4 使得f 1 g 2 1成立 求a的取值范围 答案 1 f x 极大 6e4 f x 极小 2 2 b 3 2a 见解析 3 1 1e2 a 1 1e2 解析 分析 1 求出导函数的根 判断根左右两边导函数的符号 得到函数的单调性 据极大值极小值的定义求出极值 2 据极值点处的导函数值为0得到a b的关系 代入导函数中求出导函数的两根 讨论两根的大小 判断根左右两边导函数的符号 据导函数与单调性的关系求出单调区间 3 据函数的单调性求出两个函数的值域 求出函数值的最小距离 最小距离小于1求出a的范围 详解 1 f x 2x a ex x2 ax b ex x2 2 a x a b ex 当a 2 b 2时 f x