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三角函数在数学解题中的灵活运用四川省中江实验中学 罗忠（作者联系电话邮编618100）三角函数在高中数学中占有重要的地位，运用三角函数知识解题是一种重要的数学思想方法，灵活的应用有时会达到意想不到的效果，在解题的过程中要注意联想、类比，将题中的条件、结论与熟知的三角函数规律相类比，直接或间接进行三角代换，往往能达到启发思路，实现认知结构的迁移，使问题很快得到解决。下面结合自身的教学实践举几个例子说明：例1：已知a,b,c均为正数，且满足关系式，又为不小于3的自然数。求证：。 解析：由条件联想勾股定理，a, b,c可构成直角三角形的三边。设a, b,c所对的角分别为A，B，C，则C是直角，A为锐角，于是，且当时有：于是有：即： 从而：例2：已知求证：证：表面上看这是一道代数证明题，用代数方法可以证出，但太繁，联想到三角函数知识，作代换令即：则 则故： 原式成立。例3：求满足方程组的实数。分析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦式，故有三角法。解：首先证明，否则则由推出同理：矛盾，因此，设 则是方程的解。即满足在上有27个解，即：其中或例4、求函数 的最大值分析：此题看上去似乎是一个代数 中无理函数求最值的问题，但直接假设是很难求出的，这是我们可以先注意函数的定义域，即，由三角函数的性质可以设，这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决，解： 令 则其中 此时的最大值为1当，即时成立即的最大值为 例5：已知椭圆,A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与轴相交于一点，证明： 分析：证明变量的范围,是由A，B坐标确定的，问题相当于确立函数的值域，故设法求出的表达式。解：设A由条件有即： 又总之，在解决问题的过程中，我们应善于对未知结论或已知条件进行变形，就是应当用变化的观点，而不要用静止的眼光来看待问题。灵活
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