2015届高考数学（文）《2-10导数的概念及其运算》能力提升及答案

A组基础演练能力提升一、选择题1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()A1B1Ce1De解析：依题意得，f(x)2f(e)，取xe得f(e)2f(e)，由此解得f(e)e1，选C.答案：C2与直线x3y10垂直且与曲线yx4x相切的直线的方程为()Ax3y30 B3xy30C3xy10 Dx3y10解析：由题意知与曲线yx4x相切的直线的斜率为k3，由(x4x)4x313得x1，所以切点为(1,0)，切线方程为y3(x1)故选B.答案：B来源:3(2014年济南模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2解析：依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0，mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1，选C.答案：C4在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0 B1 来源:C2 D3解析：依题意得，y3x29，令0y3x291得3x2，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.答案：A来源:数理化网5曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B2e2 Ce2 D.来源:来源:解析：f(x)ex，曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为kf(2)e2，切线方程为ye2e2(x2)，即e2xye20，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)、B(0，e2)，则切线与坐标轴围成的OAB的面积为1e2，选D.答案：D6(2014年大同模拟)已知直线ykx与曲线yln x有公共点，则k的最大值为()A1 B. C. D.解析：从函数图象知在直线ykx与曲线yln x相切时，k取最大值y(ln x)k，x(k0)，切线方程为yln k，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k1，k.答案：B二、填空题7曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_解析：因为yexxex2，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k3，从而切线方程为y3x1.答案：y3x18(2013年高考广东卷)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.解析：y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.答案：19给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0)，f(x)0在区间上恒成立，故中函数不是凸函数答案：三、解答题10设函数f(x)x3ax29x1，当曲线yf(x)斜率最小的切线与直线12xy6平行时，求a的值来源:解析：f(x)3x22ax93(x)29，即当x时，函数f(x)取得最小值9，因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为12，所以912，即a29，a3.11若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求a的值解析：设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，来源:所以切线方程为yx3x(xx0)，即，y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，来源:当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以a1或.12(能力提升)已知函数f(x)ln x与g(x)kxb(k，bR)的图象交于P，Q两点，曲线yf(x)在P，Q两点处的切线交于点A.(1)当ke，b3时，求函数f(x)g(x)的最大值；(e为自然常数)(2)若A，求实数k，b的值解析：(1)设h(x)f(x)g(x)ln xex3(x0)，则h(x)e，当0x0，此时函数h(x)为增函数；当x时，h(x)0)，则v(x)，当0x时，v(x)时，v(x)0，函数v(x)为增函数故方程v(x)0至多有两个实根，来源:又v(1)v(e)0，所以方程v(x)0的两个实根为1和e，故P(1,0)，Q(e,1)，所以k，b为所求中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(n2