高三数学第一轮复习 两条直线的交点坐标与距离公式课件 新人教B版.ppt

考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 考向预测 从近两年的高考试题来看 两条直线的位置关系 两条直线的平行与垂直 点到直线的距离 两条平行线间的距离 两点间的距离是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度为中 低档题 客观题主要考查距离公式的应用 主观题主要是在知识交汇点处命题 全面考查基本概念 基本运算能力 预测2012年高考仍将以点到直线的距离 两点间的距离 两条直线的平行与垂直为主要考点 题型以选择题 填空题为主 重点考查运算能力与对概念的理解能力 返回目录 返回目录 1 两直线的交点两条直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点坐标对应的是方程组a1x b1y c1 0a2x b2y c2 0 的解 其中 当a1b2 a2b1 0时 两条直线 当a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 时 两条直线无交点 即 当a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 时 两条直线有无数个公共点 即 2 距离公式 1 两点间的距离平面上两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 间的距离 p1p2 2 点到直线的距离平面上一点p x1 y1 到一条直线l ax by c 0的距离d 返回目录 相交于一点 平行 重合 返回目录 3 两平行线的距离若l1 l2是平行线 求l1 l2距离的方法 求一条直线上一点到另一条直线的距离 设l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 则d 返回目录 一条直线过点p 1 2 且被两条平行直线4x 3y 1 0和4x 3y 6 0截取的线段长为 求这条直线的方程 分析 确定一条直线需两个独立条件 本题中已知直线l过点p 1 2 故只需再求出直线的斜率即可 考点1两直线交点问题 返回目录 解析 1 当斜率不存在时 直线方程为x 1 与两直线的交点为a 1 b 1 ab x 1不是所求直线 2 当斜率存在时 设为k 则所求直线的方程为y 2 k x 1 它与两已知直线分别联立 求出它与两已知直线的交点坐标分别是a b 由 ab 2 2 得k 7或k 故所求直线的方程为x 7y 15 0或7x y 5 0 返回目录 求与已知两直线的交点有关问题 可有以下两种解法 1 先求出两直线交点 将问题转化为过定点的直线 然后再依其他条件求解 2 运用过两直线交点的直线系方程 若两直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0有交点 则过l1与l2交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 为待定常数 不包括直线l2 设出方程后再利用其他条件求解 求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 返回目录 3x 2y 1 05x 2y 1 0 得l1 l2的交点 1 2 再由l3的斜率为求出l的斜率为 于是由直线的点斜式方程求出l y 2 x 1 即5x 3y 1 0 解析 解法一 先解方程组 解法二 l l3 故l是直线系5x 3y c 0中的一条直线 而l过l1 l2的交点 1 2 故5 1 3 2 c 0 由此求出c 1 故l的方程为5x 3y 1 0 解法三 l过l1 l2的交点 故l是直线系3x 2y 1 5x 2y 1 0中的一条 将其整理 得 3 5 x 2 2 y 1 0 其斜率解得 代入直线系方程即得l的方程为5x 3y 1 0 返回目录 返回目录 已知点p 2 1 1 求过p点且与原点距离为2的直线l的方程 2 求过p点且与原点距离最大的直线l的方程 最大距离是多少 考点2距离问题 分析 设出直线方程 利用点到直线距离公式求系数即可 解析 1 当l的斜率k不存在时显然成立 l的方程为x 2 当l的斜率k存在时 设l y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 由点到直线距离公式得 k l 3x 4y 10 0 故所求l的方程为x 2或3x 4y 10 0 2 作图可得过p点与原点o距离最大的直线是过p点且与po垂直的直线 由l op 得k1kop 1 所以kl 由直线方程的点斜式得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 即直线2x y 5 0是过p点且与原点o距离最大的直线 最大距离为 5 返回目录 返回目录 1 点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式 应熟练掌握 2 点到几种特殊直线的距离 点p x0 y0 到x轴的距离d y0 点p x0 y0 到y轴的距离d x0 点p x0 y0 到与x轴平行的直线y a的距离d y0 a 点p x0 y0 到与y轴平行的直线x b的距离d x0 b 返回目录 解法一 设直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 由题意知即 3k 1 3k 3 k 直线l的方程为y 2 x 1 即x 3y 5 0 当直线l的斜率不存在时 直线方程为x 1 也符合题意 求过点p 1 2 且与点a 2 3 和b 4 5 距离相等的直线l的方程 解法二 当ab l时 有k kab 直线l的方程为y 2 x 1 即x 3y 5 0 当l过ab的中点时 ab中点坐标为 1 2 直线ab的方程为x 1 故所求直线l的方程为x 3y 5 0或x 1 返回目录 返回目录 求直线l1 y 2x 3关于直线l y x 1对称的直线l2的方程 考点3对称问题 分析 转化为点关于直线的对称 利用方程组求解 y 2x 3y x 1 2 1 在l1上任取一点a 0 3 则a关于直线l的对称点 1x1 2y1 1 即b 2 1 l2的方程为y 1 x 2 即x 2y 0 返回目录 得直线l1与l2的交点坐标为 解析 解法一 由 b x1 y1 一定在l2上 由 得 解法二 设所求直线上一点p x y 则在直线l1上必存在一点p1 x0 y0 与点p关于直线l对称 由题设 直线pp1与直线l垂直 且线段pp1的中点p2 在直线l上 1 1x0 y 1 y0 x 1 代入直线l1 y 2x 3得x 1 2 y 1 3 整理得x 2y 0 所求直线方程为x 2y 0 返回目录 变形得 y 2x 3y x 1 设直线l2的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 在直线l上任取一点 1 2 由题设知点 1 2 到直线l1 l2的距离相等 由点到直线的距离公式得解得k k 2舍去 直线l2的方程为x 2y 0 返回目录 解法三 由 知直线l1与l的交点坐标为 2 1 返回目录 1 中心对称 1 若点m x1 y1 及n x y 关于p a b 对称 则由中点x 2a x1y 2b y1 2 直线关于点的对称 其主要方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用l1 l2 由点斜式得到所求直线的方程 坐标公式得 2 轴对称 1 点关于直线的对称若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 则线段p1p2的中点在对称轴l上 而且连接p1p2的直线垂直于对称轴l 由方程组a b c 0 1 可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中b 0 x1 x2 返回目录 2 直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决 若已知直线l1与对称轴l相交 则交点必在与l1对称的直线l2上 然后再求出l1上任一个已知点p1关于对称轴l对称的点p2 那么经过交点及点p2的直线就是l2 若已知直线l1与对称轴l平行 则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等 由平行直线系和两条平行线间的距离 即可求出l1的对称直线 返回目录 返回目录 已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解析 1 设a x y 再由已知解得 返回目录 2 在直线m上取一点如m 2 0 则m 2 0 关于直线l的对称点必在m 上 设对称点为m a b 2x 3y 1 03x 2y 6 0 得n 4 3 又 m 经过点n 4 3 方程为9x 46y 102 0 返回目录 则 设m与l的交点为n 由 考点4直线中的最值问题 在直线l 3x y 1 0上求一点p 使得 1 p到a 4 1 和b 0 4 的距离之差最大 2 p到a 4 1 和c 3 4 的距离之和最小 返回目录 分析 设b关于l的对称点为b ab 与l的交点p满足 1 c关于l的对称点为c ac 与l的交点q满足 2 事实上 对于 1 若p 是l上异于p的点 则 p a p b p a p b ac qa qc 返回目录 解析 1 如图所示 设点b关于l的对称点b 的坐标为 a b 则kbb kl 1 即3 1 a 3b 12 0 又由于线段bb 的中点坐标为 且在直线l上 3 1 0 即3a b 6 0 解 得a 3 b 3 b 3 3 于是ab 的方程为 即2x y 9 0 3x y 1 0 x 22x y 9 0 y 5 即l与ab 的交点坐标为p 2 5 返回目录 解 得 2 如图所示 设c关于l的对称点为c 求出c 的坐标为 ac 所在直线的方程为19x 17y 93 0 ac 和l交点坐标为 则p点坐标为 返回目录 两点a b在直线l的异侧 可在l上找一点m使 ma mb 为最大 方法是可先求出点a 或b 关于直线l的对称点a 或b 连接a b 或ab 设它与l的交点为m 则m为所求 在直线l上找一点p到两定点a b距离之和最小 则p必在线段ab上 故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点 若到两定点a b的距离之差最大 则p必定在ab的延长线上 或ba的延长线上 故将l异侧的点利用对称性变为同侧的点 对称是数学学科的一个重要专题 巧用对称思想解题往往使问题能得到快速 简捷的解答 返回目录 设点a 3 5 和b 2 15 在直线l 3x 4y 4 0上 找一点p 使 pa pb 为最小 并求这个最小值 返回目录 设点a关于直线l的对称点a 的坐标为 a b 则由aa l和aa 被l平分 解之得a 3 b 3 点a 的坐标为 3 3 pa pb min a b ka b 18