高考数学一轮总复习名师精讲 第42讲直线和平面垂直与平面和平面垂直课件.ppt

第四十二讲 第四十三讲 文 直线和平面垂直与平面和平面垂直 回归课本1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直 那么就称这条直线和这个平面垂直 这条直线 平面的垂线平面 直线的垂面交点 垂足 垂线在平面内的射影直线l垂直于平面 记作l 3 直线与平面垂直的性质定理 a b a b a b a b a b a b 4 点到平面的距离的定义从平面外一点引这个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 5 直线和平面的距离的定义一条直线和一个平面平行 这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离 线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的 6 判定直线与平面垂直的方法 定义 判定定理 a b a b a a l l 7 垂直关系的转化其中线 面是线 线 面 面转化关系的枢纽 在证题过程中关键要寻求 三级 转化的条件 确定转化目标 2 三垂线定理及逆定理 1 三垂线定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 po pa分别为 的垂线 斜线 oa是pa在 内的射影 a 且a oa a pa 2 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 3 斜线在平面内的射影及射影长定理连结斜足及斜线上不同于斜足的一点在平面内的射影 所得直线称为斜线在平面内的射影 从平面外一点向平面引垂线和若干条斜线 斜线段长相等 射影长相等 3 平面与平面垂直的有关定理 1 判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 ab ab 2 性质定理 若 l m 且m l 则m 若 点p p m且m 则m 若 m 则m 4 方法 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 定理 m m 则 m m 则 2 线线垂直 线面垂直 面面垂直 的相互转化在证明两平面垂直时 一般先从现有直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论依据 并有利于证明 不能随意添加 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故要熟练掌握 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的转化条件和转化作用 正确进行它们之间的转化是解决这类问题的关键 考点陪练1 已知平面 平面 l p l 则给出下面四个结论 过p和l垂直的直线在 内 过p和 垂直的直线在 内 过p和l垂直的直线必与 垂直 过p和 垂直的平面必与l垂直 其中正确的命题是a b c d 解析 满足 条件的直线在过点p与l垂直的平面内 故 不对 由平面与平面垂直的性质定理知 是正确的 满足 中条件的直线可在 内 故 不对 对于 过p与 垂直的平面可绕p点转动 不一定与l垂直 故 不对 答案 a 2 正四面体中面sdq在该四面体的四个面上的射影可能是 a b c d 解析 sdq在面abd上的射影为图 sdq在面abc上的射影为图 sdq在面bdc上的射影为图 因此选d 答案 d 3 平面 平面 的一个充分条件是 a 存在一条直线l l l b 存在一个平面 c 存在一个平面 d 存在一条直线l l l 解析 对于a 由l l 知 或 与 重合 对于b 由 知 对于c 由 知 与 平行或相交 都不符合要求 排除 选择d 答案 d 4 直线a b是不互相垂直的异面直线 平面 满足a b 且 则这样的平面 a 有无数对b 有有限对c 只有一对d 不存在解析 过直线a作任意一个平面 则直线b b 且b 在b上取异于b的点c 作cd 于d 则平面bcd 答案 a点评 就是教室里黑板面和地面垂直的模型 这是高考的热门话题 因此 记住一些有用的模型 对于快速解答有关问题是大有帮助的 5 2011 荆州质量检查 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别是棱bc dd1上的点 如果b1e 平面abf 则点e f满足的条件一定是 解析 取ad上一点m 使am be 连结a1m 则只需满足a1m af 即得b1e 平面abf 则由平面几何的知识可得 只需md df 1 即ce df 1 答案 b 典例1 rt abc所在平面外一点s 且sa sb sc d为斜边ac的中点 1 求证 sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 平面sac 分析 利用线面垂直的判定定理即可得证 证明 1 取ab中点e 连结se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 故de bc 且de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab se ba de ab se de e ab 面sde 而sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac的中点 sd ac sd ac sd ab ac ab a sd 平面abc 2 若ab bc 则bd ac 由 1 可知 sd 面abc 而bd 面abc sd bd sd bd bd ac sd ac d bd 平面sac 点评 证线面垂直的方法有 1 利用定义 即证直线垂直于平面内任一直线 2 利用线面垂直的判定定理 它是判定线面垂直的最常用思路 3 利用线面垂直的性质 即两平行线之一垂直于平面 则另一条线必垂直于该平面 4 利用面面垂直的性质定理 即两平面互相垂直 在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面 5 用面面平行的性质 即一直线垂直于两平行平面之一 则必垂直于另一平面 6 用面面垂直的性质 即两相交平面都垂直于第三个平面 则它们的交线垂直于第三个平面 探究1 p为 abc所在平面外一点 且pa 平面abc 若o q分别为 abc和 pbc的垂心 求证 oq 平面pcb 证明 如图 连结ao并延长交bc于e 连结pe o为 abc的垂心 ae bc pa 平面abc bc 平面abc pa bc pa ae a bc 平面pae pe 平面pae bc pe q为 pbc的垂心 q pe 即oq 平面pae bc oq 连结bo并延长交ac于f 连结bq并延长交pc于h 连结fh o为 abc的垂心 bf ac 又 pa bf ac bf pa ac a bf 平面pac 而pc 平面pac bf pc 又 bh pc bf bh b pc 平面bfh 而oq 平面bfh pc oq 又 bc oq pc bc c oq 平面pbc 类型二面面垂直的判定与性质解题准备 利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线在图中存在 则可通过线面垂直来证明面面垂直 若这样的直线在图中不存在 则可通过作辅助线来解决 而作辅助线则应有理论根据并有利于证明 不能随意添加 典例2 如图 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 分析 1 要证明de da 只需证明rt dfe rt dba 2 注意m为ea的中点 可取ca的中点n 先证明n点在平面bdm内 再证明平面bdmn经过平面eca的一条垂线即可 3 仍需证明平面dea经过平面eca的一条垂线 mn bd n点在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又ca bn bn 平面eca bn在平面mnbd内 平面mnbd 平面eca 即平面bdm 平面eca 3 dm bn bn 平面eca dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 点评 本题涉及线面垂直 面面垂直的性质和判定 其中证明bn 平面eca是关键 探究2 如图 在斜三棱柱a1b1c1 abc中 底面是等腰三角形 ab ac 侧面bb1c1c 底面abc 1 若d是bc的中点 求证 ad cc1 2 过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱于m 若am ma1 求证 截面mbc1 侧面bb1c1c 3 am ma1是截面mbc1 平面bb1c1c的充要条件吗 请你叙述判断理由 分析 1 显然 对于 2 延长b1a1与bm是一个好方法 3 的结论是肯定的 证必要性时 辅助线要重新作出 解析 1 证明 ab ac d是bc的中点 ad bc 底面abc 侧面bb1c1c ad 侧面bb1c1c cc1 侧面bb1c1c ad cc1 2 证明 延长b1a1与bm交于n 连结c1n am ma1 na1 a1b1 a1b1 a1c1 a1c1 a1n a1b1 c1n c1b1 底面nb1c1 侧面bb1c1c c1n 侧面bb1c1c 截面c1nb 侧面bb1c1c 截面mbc1 侧面bb1c1c 3 结论是肯定的 充分性已由 2 证明 下面证必要性 过m作me bc1于e 截面mbc1 侧面bb1c1c me 侧面bb1c1c 又 ad 侧面bb1c1c 点评 证明面面垂直 需要证线面垂直 而要证线面垂直 需要证线线垂直 即线线垂直 线面垂直 面面垂直 类型三三垂线定理及其逆定理的应用解题准备 1 不同的选择 使问题的解决有难有易 由此也体现出灵活性并非轻而易举地获得 而需要加强训练 2 三垂线定理及其逆定理主要用于 1 立体几何的证明问题 如线线垂直 线面垂直 面面垂直 2 立体几何的计算问题 如求空间一点到平面内某一直线的距离 求两平行直线间的距离 求两条异面直线所成的角等 3 二面角问题 主要是构造二面角的平面角 典例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 p为棱dd1的中点 o为底面正方形abcd的中心 求证 b1o pa 证明 证法一 如图所示 b1b 平面abcd b1b ao 又bd ao b1b bd b ao 平面bdd1b1 故po是pa在面bdd1b1内的射影 证法二 如图所示 取ad的中点m 连结om 则om 平面a1add1 又b1a1 平面a1add1 a1m是b1o在平面a1add1内的射影 在正方形a1add1中 m为ad的中点 p为dd1的中点 pa a1m pa b1o 三垂线定理 探究3 如图 已知 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc e是点a在平面pbc内的射影 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 证明 1 如下图 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac pa 平面pac df pa 作dg ab于g 同理可证 dg pa dg df都在平面abc内 且dg df d pa 平面abc 2 连结be交pc于h e是 pbc的垂心 pc be 又已知ae是平面pbc的垂线 由三垂线定理知pc ab pa 平面abc pa ab ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 典例4 如图 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 再过a作ae sb交sb于e 过e作ef sc交bc于f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于g 求证 ag sd 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc abcd为矩形 ab bc且sa ab a bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae 又sb ae且sb bc b ae 平面sbc 又 sc 平面sbc ae sc 又ef sc且ae ef e sc 平面aef 又 af 平面aef af sc 2 sa 平面ac dc 平面ac sa dc 又ad dc sa ad a dc 平面sad 又ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag且sc cd c ag 平面sdc 又sd 平面sdc ag sd 探究4 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 3 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 证明 1 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 所以bg ad 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bg 平面pad 2 连结pg 由 pad为正三角形 g为ad的中点 得pg ad 由 1 知bg