高考数学（人教a版理科）题库：直接证明与间接证明（含答案）

第2讲 直接证明与间接证明一、选择题1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()A 小前提错 B 结论错C 正确 D 大前提错解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案 C2对于平面和共面的直线m，n，下列命题中真命题是()A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n与所成的角相等，则mn解析对于平面和共面的直线m，n，真命题是“若m，n，则mn”答案C3要证：a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)0解析因为a2b21a2b20(a21)(b21)0，故选D.答案D4命题“如果数列an的前n项和Sn2n23n，那么数列an一定是等差数列”是否成立()A不成立 B成立 C不能断定 D能断定解析Sn2n23n，Sn12(n1)23(n1)(n2)，anSnSn14n5(n1时，a1S11符合上式)又an1an4(n1)，an是等差数列答案B5设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c() A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D6定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n1)*1n*11，则n*1 ()An Bn1 Cn1 Dn2解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*12n.答案A二、填空题7要证明“2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是_(填序号)反证法，分析法，综合法答案8设ab0，m，n，则m，n的大小关系是_解析取a2，b1，得mn.再用分析法证明：a0，显然成立答案mn9已知a，b，(0，)且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)且1，ab(ab)1010216，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，0b与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的是_解析 正确；中ac，bc，ab可能同时成立，如a1，b2，c3.选C.答案 三、解答题11已知非零向量a，b，且ab，求证：.证明abab0，要证.只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证12设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾13已知f(x)x2axb.(1)求：f(1)f(3)2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.则f(1)，f(2)，f(3)，12f(2)1，1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2，这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾假设错误，即所证结论成立14已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.解 (1)证明f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，又x1x2，x2，是f(x)0的一个根(2)假设c，又0，由0xc时，f(x)0，知f0与f0矛盾，c，又c，c.(3)证明由f(c)0，得acb10，b1ac.又a0，c0，b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即.又a0，b2，2中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(n2)，b13，Snb1b2