高考数学（人教a版理科）题库：直线与圆、圆与圆的位置关系（含答案）

第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4 B3 C2 D1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案C2若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是 ()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.答案C3若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a，b满足的关系是()Aa22a2b30Ba2b22a2b50Ca22a2b50Da22a2b50解析 即两圆的公共弦必过(x1)2(y1)24的圆心，两圆相减得相交弦的方程为2(a1)x2(b1)ya210，将圆心坐标(1，1)代入可得a22a2b50.答案C4若圆C1：x2y22axa240(aR)与圆C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条切线，则ab的最大值为 ()A3 B3 C3 D3解析易知圆C1的圆心为C1(a,0)，半径为r12；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r21.两圆恰有三条切线，两圆外切，|C1C2|r1r2，即a2b29.2，ab3(当且仅当ab时取“”)，ab的最大值为3.答案D5若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 () A. B.C. D.解析C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)当m0时，C2：y0，此时C1与C2显然只有两个交点；当m0时，要满足题意，需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点，当圆与直线相切时，m，即直线处于两切线之间时满足题意，则m0或0m.综上知m0或0m2，b2)(1)求证：(a2)(b2)2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求AOB面积的最小值解 (1)证明：圆的标准方程是(x1)2(y1)21，设直线方程为1，即bxayab0，圆心到该直线的距离d1，即a2b2a2b22ab2a2b2ab2a2b2，即a2b22ab2a2b2ab20，即ab22a2b0，即(a2)(b2)2.(2)设AB中点M(x，y)，则a2x，b2y，代入(a2)(b2)2，得(x1)(y1)(x1，y1)(3)由(a2)(b2)2得ab22(ab)4，解得2(舍去2)，当且仅当ab时，ab取最小值64，所以AOB面积的最小值是32.13设直线l的方程为ykxb(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2y22x40.(1)如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；(2)b1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值解圆M的标准方程为(x1)2y25，圆心M的坐标为(1,0)，半径为r.(1)不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，即|MP|，即1b25，2b2，即b的取值范围是(2,2)(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2.当lMP时，此时|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|22112，当且仅当k1时取等号最小值为222.14已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；(2)求四边形QAMB面积的最小值；(3)若|AB|，求直线MQ的方程解(1)设过点Q的圆M的切线方程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，1，m或0，QA，QB的方程分别为3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四边形MAQB|MA|QA|QA|.四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于P，则MPAB，MBBQ，|MP| .在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，|MQ|3，x2(y2)29.设Q(x,0)，则x2229，x，Q(，0)，MQ的方程为2xy20或2中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(n2)，b13，Snb1b2bn，