2019-2020学年南通市如东县高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省南通市如东县高一上学期期末数学试题一、单选题1设集合，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】根据集合并集运算，即可求解.【详解】，故选：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2等于（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三角函数诱导公式，化简求值.【详解】由题意故选：C【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.3已知点，则与共线的单位向量为（ ）ABC或D【答案】C【解析】由题意写出.可设与共线的单位向量，由，即可求解.【详解】由题意设与共线的单位向量，又解得，故或故选：【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.4已知函数，则等于（ ）ABC3D9【答案】B【解析】由分段函数代入即可求解【详解】由题意故选：【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.5在中，D为边BC上的一点，且，则( )ABCD【答案】B【解析】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案【详解】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，故选：B【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6已知幂函数yf（x）的图象过点（2，），则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】先求幂函数的表达式，进而求值即可.【详解】设幂函数f（x）x，因为幂函数的图象经过点（2，），所以2，解得，则幂函数的解析式为，故选：A【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.7已知角的终边过点，则等于（ ）ABC3D【答案】B【解析】由题意，根据三角函数定义，可知，再将分式上下同除，即可求解.【详解】由题意，角终边过点原式故选：【点睛】本题考查齐次式求值，属于基础题.8求值：（ ）ABC0D【答案】B【解析】由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值.【详解】故选：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中等题型.9函数是定义域为，周期为2的函数，且当时，；已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）A11B13C15D17【答案】C【解析】根据函数的周期性，作出函数和的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数.【详解】函数是定义域为，周期为的函数，且当时，；作出函数的图象如图：，定义域在同一直角坐标系内，作出函数的图象如图：当时，则此时故由图象可知两个图象的交点个数为个.故选：【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.10平行四边形ABCD中，已知，点E，F分别满足，若，则等于（ ）ABC1D2【答案】D【解析】利用平行四边形法则，将分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数.【详解】由题意，由图知则代入，得解得故选：【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.二、多选题11在中，若是直角三角形，则k的值可以是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若为直角，则即解得若为直角，则即解得若为直角，则，即解得综合可得，的值可能为故选：【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.12已知函数（其中，的部分图象，则下列结论正确的是（ ）A函数的图象关于直线对称B函数的图象关于点对称C函数在区间上单调增D函数与的图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.【详解】由函数（其中，）的图像可得：，因此,所以，过点，因此，又，所以，当时，故错；当时，故正确；当，所以在上单调递增，故正确；当时，所以与函数有的交点的横坐标为 ，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题13函数的定义域是_【答案】【解析】由题意分析，使函数成立需满足真数大于0、分母不为0，然后取交集，即可求解.【详解】要使函数有意义，需满足且，得且故答案为：【点睛】本题考查函数定义域求法，属于基础题.14已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，则的解集是_【答案】【解析】由题意先确定函数在上是增函数，再将不等式转化为即可求得的取值范围.【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.15若函数的部分图象如图所示，则的值为_【答案】.【解析】由所给函数图像 过点,，列式，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点,得，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.16矩形ABCD中，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意，取中点为，则有，可知求解的范围就是的范围.【详解】由题意，取中点为，则有，如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值当点与点重合时，取最小值0故答案为：【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题.四、解答题17已知，（1）求；（2）当k为何值时，与垂直？【答案】（1）4（2）19【解析】（1）由题意，先求，再求模长；（2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数.【详解】解：（1）因为，所以；（2）因为，所以，解得【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题.18已知函数（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）根据三角函数恒等变换，化简函数，再求值；（2）由（1）代入，可知，由角的范围，求出，由组合角，即可求解.【详解】解：（1）因为所以（2）因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因此，【点睛】本题考查（1）三角函数恒等变换；（2）配凑组合角求值问题；注意角的取值范围，考察计算能力，属于中等题型.19已知函数（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；（2）若函数在上有最大值为3，求实数m的值【答案】（1）（2）【解析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间上即可；（2）由题意，分类讨论，当时和当时分别求值，再回代检验是否为最大值.【详解】解：（1）对于函数，开口向上，对称轴，当在上单调递增时，解得，当在上单调递减时，解得，综上，（2）由题意，函数在或处取得最大值，当时，解得，此时3为最小值，不合题意，舍去；当时，解得，此时3为最大值，符合题意综上所述，【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.20如图，半径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中，设（1）将十字形的面积S表示为的函数；（2）求十字形的面积S的最大值【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值.【详解】解：（1）由题意，因为，所以所以即，（2）由（1）得：所以答：（1）；（2）【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.21设函数为奇函数（1）求实数a的值；（2）当时，求的值域【答案】（1）1（2）【解析】（1）由题意，根据奇函数，即可求解；（2）由（1），将函数化简为，导出，再根据指数函数有界性，求解的范围，即可求解值域.【详解】解：（1）因为函数为奇函数，且函数的定义域为，所以，所以证明：函数，其定义域为，故为奇函数，故所求实数的值为1（2）因为函数，所以，又时，所以，解得，故所求函数的值域为【点睛】本题考查（1）奇函数定义（2）函数值域求法：反函数法；考查直观想象能力，考查计算能力，技巧性强，有一定难度.22如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间（1）若函数，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由（2）已知函数，其中且，（）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；（）证明：当，时，函数不存在等域区间【答案】（1）；见解析（2）（）（）见解析【解析】（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；（2）（）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；（）由题意，根据，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.【详解】解：（1）函数存在等域区间，如；（2）已知函数，其中且，D（）