数学北师版八年级上第四章4　一次函数的应用

4一次函数的应用1确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为ykx(k0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为ykxb(k0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入ykx或ykxb中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件由于正比例函数ykx(k0)中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式一次函数ykxb(k0)有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值【练习1】 如图，求直线AB对应的函数表达式 2.用待定系数法求解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程(组)，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式【练习2】 一次函数图象如图所示，求其解析式【练习3】在直角坐标系中，一次函数ykxb的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值3一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系释疑点 函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位谈重点 函数ykxb图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数ykxb(k0)的图象就不再是一条直线要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等【练习4】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了_ h开挖6 h时甲队比乙队多挖了_ m.(2)请你求出：甲队在0x6的时段内，y与x之间的函数关系式；乙队在2x6的时段内，y与x之间的函数关系式(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？【练习5】 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x1 500时，y2y1；0x1 500时，y2y1.析规律 函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等4一次函数和一元一次方程的关系当一次函数ykxb(k0)中的函数值为0时，可得0kxb即kxb0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数ykxb的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kxb0的解；若从图象上来看，则可看做函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kxb0的解由此可见，方程与函数是密不可分的【练习6】 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.行驶时间t(h)0123油箱余油量y(L)100846852分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力5一次函数图象的平移一次函数ykxb(k0)的图象可以看做由直线ykx平移|b|个单位长度而得到(当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)实际上就是指一次函数ykxb的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行如：一次函数l1：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的【练习7】 如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是_析规律 平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解平移前后k的值不变，改变的是b的值6.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，且a0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数yaxb的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数yaxb的值为0，只要求出方程axb0的解即可由于任何一元一次不等式都可以转化为类似axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数yaxb的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数yaxb的值何时大(小)于0时，只要求出不等式axb0或axb0的解集即可从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现【练习8】 已知一次函数yaxb(a，b是常数，且a0)x与y的部分对应值如下表：x210123y642024那么方程axb0的解是_，不等式axb0的解集是_7如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式ykx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式而一次函数的解析式ykxb中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析(1)定义型若两个量y与x成正比例，可设为正比例函数形式：ykx(其中k是常数，k0)，再用待定系数法求比例系数k.(2)两(或一)点型把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解(3)图象型解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k，b；它体现了数与形的完美结合，是解题的重要思想方法之一点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式只需把点的坐标代入函数解析式，然后求方程(组)的解即可(4)平移型平移不改变k的大小，只改变b的大小(5)实际应用型解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围这是求实际应用型问题的函数关系式的至关重要的一点【练习9】 求一次函数y(m2)xm23m3的关系式【练习10】直线ykxb经过点A(3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式分析：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入ykxb中，求出k，b即可【练习11】 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为_【练习12】 将直线y2x向上平移两个单位长度，所得的直线是_【练习13】 大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：指距d(cm)20212223身高h(cm)160169178187(1)求出h与d之间的函数关系式(2)某人身高196 cm，一般情况下他的指距是多少？8.分段计费问题在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题的能力常见的分段计费