高三数学：集合与简易逻辑 新课标人教版《集合与简易逻辑》复习课.ppt

集合与简易逻辑 复习课 四川省安岳县兴隆中学 2004年10月 卢勇刚 内容提要 集合的基本概念及运算 简易逻辑及充要条件 绝对值不等式及一元二次不等式的解法 反证法 的真假判断方法 知识提要 集合与简易逻辑 集合 不等式 简易逻辑 概念 性质 运算 把一些确定的对象集在一起 就成为集合 集合中元素具有确定性 互异性 无序性 子集 交集 并集 补集 对任意元素x a 有x b 则 cua 结论 3 cu a b cua cub 二次不等式 绝对值不等式 b f x a f x g x f x g x 注意先将二次系数化为正 并注意数形结合 分类讨论 反证法 逻辑联结词 四种命题 充要条件 或 且 非 p q中至少有一个为真时 命题p或q为真 否则为假 p且q 非p p或q p q中两个均为真时 命题p且q为真 否则为假 p为真时 非p为假 p为假时 非p为真 则a是b的充分条件 b是a的必要条件 则a是b的充要条件或b是a的充要条件 步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 从假设出发 推理 得出矛盾 结论 判断假设不正确 肯定命题正确 下一张 判断方法 小结 返回 二次不等式解法 注意先将二次系数化为正 并注意数形结合 分类讨论 不等式ax bx c 0恒成立 解集为r 四种命题 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 互逆 否命题 若 p则 q 互否 逆否命题 若 q则 p 互为逆否 互逆 互否 互为逆否 注 1 常见关键词的否定 且 存在 至少有两个 一个也没有 不都是 全是 不是 否定 或 任意 至多有一个 至少有一个 都是 全是 是 关键词 返回 注 2 充要条件判断方法 定义法 等价法 利用命题的逆否命题 集合法 则a是b充分条件 则b是a必要条件 则a是b的必要条件 几个需要说明的问题 弄清集合与元素 集合与集合的关系 掌握有关的术语和符号 特别要注意以下的符号 的区别 a与 a 的关系 集合a x y x2 b y y x2 c x y y x2 的区别 求解集合问题基本思想方法 不等式问题利用数轴 注意实心和空心 以及端点的选取 求解集合问题时 切不可忽略了 ab或ab均含有a 的情形 a b 含有a或b为的情形 利用文氏图求解 u a b cub a cua b cu a b 或cua cub 绝对值不等式的解法 关键在于去绝对值a 由绝对值的求解不等式 b 由绝对值的去绝对值符号 从而求出不等式的解 几何意义 代数意义 a 表示数轴上a到原点0的距离 a b 表示数轴上点a到b的距离 a 几个需要说明的问题 一元二次不等式的类型 常系数的一元二次不等式 含字母系数的一元二次不等式大致分为两类 的符号不确定 讨论的大小 通过因式分解 或求根公式 得出两根 则讨论根的大小 一元二次不等式的应用 已知一个不等式的解集 求另一个不等式的解集 恒成立问题 通常可结合来考虑 二次函数图象 1 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 3 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 2 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 4 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 基础训练 1 有n个元素的集合 a1 a2 an 有 个子集 真子集 个 非空真子集 个 2 设全集u r 集合p x x 1 集合q x 0 x 5 则 cup q 3 已知集合a x x2 5x 4 0 b x x a 若a b a 则a范围为 4 不等式1 2x 5 9解为 不等式解集为 5 若b是a的充分不必要条件 则a是b的 条件 b是 a的 条件 6 若p q 3x 4 2 则 p是 q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 2n 2n 1 2n 2 x 0 x 1 a a 4 x 3 x 7或 2 x 2 x 0 x 1 必要不充分 必要不充分 b x 典例评析 例1 集合 若 求实数a的范围 解析 集合a实际上是函数中x的范围 即时x的集合 故集合a x 5 x 3 由 即有 则 集合b实际上是函数的函数值y的集合 函数通过配方有 故集合b y y a 1 由 结合数轴 5 3 a 1 由图知 a 1 3 即有 a 2 评析 1 认描述法表示的集合 a 一看 元素 二看 属性 p x p 2 解决含不等式的集合问题利用数轴 数形结合 注意实心 空心和界点 典例评析 例2 关于x的不等式与的解集 解析 分别为a b 若a b a 试求实数a的取值范围 由 又由 当3a 1 2即a 时 由若a b a知 如图则有 2a a2 1 2 3a 1 2a 2 a 1 a 1 由上知 当3a 1 2即a 时 如图则有 b a 2a a2 1 2 3a 1 b a 2a 3a 1 a 1 综上 典例评析 例3 若p q x2 2x 1 m2 0 m 0 若 p是 q的充分非必要条件 求m范围 解析 由 得 所以 p x 2或x 10 又由x2 2x 1 m2 0 m 0 故不等式解为 所以 q 因为 p是 q的充分非必要条件 设 p组成集合a q的组成集合b 即 p q且 q p 则ab 如右图有 2 10 1 m 1 m m 0 m 0 综上 b a 典例评析 解析 例4 已知关于x的不等式ax2 2ax a2 2 0 1 不等式的解集为r 试求a的取值范围 2 若解集为 试求a的取值范围 1 由不等式的解集为r 由题知 当a 0时 即为 2 0 不满足条件 故a 0 此时 原题等价于 故 2 由不等式的解集为知 不等式ax2 2ax a2 2 0恒成立 当a 0时 即为 2 0 满足条件 当a 0时 原题等价于 故 典例评析 例5 解不等式 x 1 x 1 4 解析1 利用绝对值的代数意义 找出绝对值零值点 1 1 分三段去绝对值 当x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即 2x 4 则x 2 此时应取 x 2 当 1 x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即2 4不成立 此时无解 当x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即2x 4 则x 2 此时应取 x 2 综上 x x 2或x 2 解析2 利用绝对值的几何意义求解 a 表示数轴上a对应的点到原点0的距离 题中 x 1 x 1 表示 x到 1与1距离之和 如图 11 当x 1时 x 1 x 1 2 由题先求使 x 1 x 1 4的点x 易得x 2 此时不等式解为 x 2 如图 当 1 x 1时 如图 2 当x 1时 如图 x 1 x 1 由题先求使 x 1 x 1 4的点x 易得x 2 此时不等式解为 x 2 综上 x x 2或x 2 此时无解 解析3 典例评析 例5 解不等式 x 1 x 1 4 原不等式变形为 x 1 4 x 1 解析3 等价于 x 1 4 x 1 或x 1 4 x 1 即有 x 1 5 x或