高考数学（文科）中档大题规范练（概率与统计）（含答案）

中档大题规范练概率与统计1.第12届全运会已于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率解(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以抽取的5人中，“高个子”有122人，“非高个子”有183人“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种因此，至少有一人是“高个子”的概率是P.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，身高相差5 cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为.2(2013北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解(1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良所以，此人到达当日空气质量优良的概率P.(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日所以，只有一天空气重度污染的概率P.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大3先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数(1)求点P(x，y)在直线yx2上的概率；(1)求点P(x，y)满足y22x的概率解每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以，基本事件总数为6636(个)(1)记“点P(x，y)在直线yx2上”为事件A，则事件A有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，所以，P(A).(2)记“点P(x，y)满足y22x”为事件B，则事件B有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，所以，P(B).4(2013福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成22列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：2P(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成K2)解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有400.052(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)故所求的概率P.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手600.2515(人)，“25周岁以下组”中的生产能手400.37515(人)，据此可得22列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K21.79.因为1.792.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”5有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不相同的概率解从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件(1)记事件A为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P(A).记事件B为“取出的两个球是黑球”，同理可得P(B).记事件C为“取出的两个球的颜色相同”，则CAB，且A，B互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)P(AB)P(A)P(B).(2)记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C，D互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P(D)1P(C)1.6(2014福建)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 0354 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 08512 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8 000B30%4 000C15%6 000D10%3 000E20%10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率解(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为(8 0000.25a4 0000.30a6 0000.15a3 0000.10a10 0000.20a)6 400.因为6 4004 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E，共10个设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：A，C，A，E，C，E，共3个，所以所求概率为P(M).中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(2123