湖北荆州中学高二数学上学期第一次月考

湖北省荆州中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 不等式log2x-1x1的解集为( )A. (-,-1B. -1,+)C. -1,0)D. (-,-1(0,+)2. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A. “至少有一个黑球与都是黑球”B. “至少有一个黑球与至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球与恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球与都是红球”3. 若sin0且tan0,则的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第一象限或第三象限D. 第三象限或第四象限4. 函数f(x)=cos2x+6cos(2-x)的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 已知点C（1,1）、D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=()A. 1B. -2C. 22D. 26. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中ABC是正三角形,AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 A. 323B. 48C. 24D. 167. 如图,正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD的中点,若AC=AM+BN,则+=( )A. 2 B. 83 C. 65 D. 858. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2(-,0(x1x2),有f(x2)-f(x1)x2-x10,且f(2)=0,则不等式2f(x)+f(-x)5x0,S120,S130,则S1,S2,S3,S4,S11,S12中最大的是( )A. S12B. S7C. S6D. S111. 已知a、b、c为实常数,数列xn的通项xn=an2+bn+c,nN*,则“存在kN*,使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是( )A. a0B. b0C. c=0D. a-2b+c=012. 已知等比数列an的公比是q,首项a10,前n项和为Sn,设a1,a4,a3-a1成等差数列,若Skf(-m2+2m-2),则m的取值范围是_16. 已知向量a=(2,sin),b=(1,cos),若ab,则sin21+cos2的值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在ABC中,a2+c2=b2+2ac(I)求B的大小；(II)求2cosA+cosC的最大值18. 已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),记f(x)=mn求f(x)的单调递减区间；若f(a)=32,求cos(23-a)的值；将函数y=f(x)的图象向右平移23个单位得到y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在0,73上有零点,求实数k的取值范围19. 如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P如图2求证：DPEF；求四棱锥P-BFDE的体积20. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；.；第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图估计这次月考数学成绩的平均分和众数；从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率 21. 如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为3米将眼睛S距地面的距离SA按3米处理求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转当SMSN=15时,求摄影爱好者观察彩杆MN的视角的余弦值22. 已知数列an的前n项和sn,点(n,sn)(nN*)在函数y=12x2+12x的图象上(1)求an的通项公式；(2)设数列1anan+2的前n项和为Tn,不等式Tn13loga(1-a)对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围20190928数学试卷CCCBC ADBBC AA二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）16941-2,12)23三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）21. 在ABC中,a2+c2=b2+2ac(I)求B的大小；(II)求2cosA+cosC的最大值【答案】解：(I)在ABC中,a2+c2=b2+2aca2+c2-b2=2ac由正弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22,又因为B(0,),B=4；(II)由(I)得：C=34-A,2cosA+cosC=2cosA+cos(34-A)=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=sin(A+4).A(0,34),A+4(4,),故当A+4=2时,sin(A+4)取最大值1,即2cosA+cosC的最大值为1【解析】本题考查的知识点是余弦定理,和差角公式,正弦型函数的图象性质,属于中档题由已知根据余弦定理,可得cosB=22,进而得到答案由(I)得：C=34-A,结合正弦型函数的图象和性质,可得2cosA+cosC的最大值22. 已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),记f(x)=mn求f(x)的单调递减区间；若f(a)=32,求cos(23-a)的值；将函数y=f(x)的图象向右平移23个单位得到y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在0,73上有零点,求实数k的取值范围【答案】解：,由2k+2x2+62k+32,求得4k+23x4k+83,所以f(x)的单调递减区间是4k+23,4k+83,kZ；由已知f(a)=32,得sin(a2+6)+12=32,即,则a=4k+23,kZcos(23-a)=cos(23-4k-23)=1；将函数y=f(x)的图象向右平移23个单位得到g(x)=sin(x2-6)+12的图象,x0,73,-6x2-6,所以-12sin(x2-6)1,0sin(x2-6)+1232若函数y=g(x)-k在0,73上有零点,则函数y=g(x)的图象与直线y=k在0,73上有交点,所以实数k的取值范围为0,32.【解析】本题考查向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的单调性,函数y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题两个向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的单调性,求f(x)的单调递减区间；由题意f(a)=32,求出a=4k+23,kZ,代入cos(23-a)可得结果；利用y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,求得实数k的取值范围23. 如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P如图2求证：DPEF；求四棱锥P-BFDE的体积【答案】证明：)边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点, 将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P, PDPE,PDPF, PEPF=P,PD平面PEF, EF平面PEF,PDEF解：)32924. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组：第一组40,50)；第二组50,60)；.；第六组90,100,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图估计这次月考数学成绩的平均分和众数；从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间90,100内的概率【答案】解：因各组的频率之和为1,所以成绩在区间80,90)内的频率为1-(0.0052+0.015+0.020+0.045)10=0.1,所以平均分=0.0545+0.1555+0.4565+0.2075+0.1085+0.0595=68,众数的估计值是65;设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间90,100内”,由题意可知成绩在区间80,90)内的学生所选取的有：400.1=4人,记这4名学生分别为a,b,c,d,成绩在区间90,100内的学生有0.0051040=2人,记这2名学生分别为e,f,则从这6人中任选2人的基本事件为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,事件“至少有1名学生的成绩在区间90,100内”的可能结果为：(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共9种,所以P(A)=915=35故所求事件的概率为：P(A)=915=35【解析】本题考查了频率分布直方图,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是对事件的列举做到不重不漏,难度适中由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在80,90)的学生频率,再估计这次月考数学成绩的平均分和众数；用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数,列出至少有1名学生成绩在90,100的事件个数,然后直接利用古典概型概率计算公式求解25. 如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为3米将眼睛S距地面的距离SA按3米处理求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转当SMSN=15时,求摄影爱好者观察彩杆MN的视角的余弦值【答案】解：如图,作SCOB于C,依题意,又SA=3,故在RtSAB中,可求得,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米,在RtSCO中,SC=3,又BC=SA=3,故OB=23,即立柱的高度OB为23米；因为,所以MO2+SO2-SM22MOSO=-NO2+SO2-SN22NOSO,于是得SM2+SN2=26,又SMSN=15,从而【解析】本题考查的是解三角形的应用,解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理,属于中档题摄影者眼部记为点S,作SCOB于C,则有,SA=3,在RtSAB中,由三角函数的定义可求AB；再由SC=3,在RtSCO中由三角函数的定义可求OC,进而可求OB；由题意可得cosMOS=-cosNOS,结合余弦定理可得MO2+SO2-SM22MOSO=-NO2+SO2-SN22NOSO,则有SM2+SN2=26,再由SMSN=15,可求的余弦值26. 已知数列an的前n项和sn,点(n,sn)(nN*)在函数y=12x2+12x的图象上(1)求an的通项公式；(2)设数列1anan+2的前n项和为Tn,不等式Tn13loga(1-a)对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围【答案】解：(1)点(n,sn)在函数y=12x2+12x的图象上,Sn=12n2+12n,当n2时,Sn-1=12(n-1)2+12(n-1),-得an=n,当n=1时,a1=S1=12+12=1,符