1.3 分类与整合的思想

3. 分类与整合的思想在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？例如（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；（2）有的运算法则和定理,公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;对数函数的单调性就分为，两种情况;求一元二次不等式的解又分为及共六种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；（3）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧,异侧,二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；（4）对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（5）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何研究；四是如何整合.【例1】(2005年，福建卷,理9)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）(A) 300种(B) 240种(C) 144种(D) 96种 【分析及解】 本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求,因此,就要针对甲,乙是否被挑选上,甲,乙去何处游览进行研究. 对甲,乙是否被挑选上可分为4类.(1) 有甲有乙：这时有种；(2) 有甲无乙：这时有种；(3) 无甲有乙：这时有种；(4) 无甲无乙：这时有种 由以上，不同的选择方案共有种，因此选（B）.【例2】 (2005年，江西卷，理17)已知函数为常数),且方程有两个实根为,.() 求函数的解析式;() 设，解关于的不等式：.【分析及解】()将,代入方程得 解得 ()不等式可化为, 进而有.这等价于解到这里就要针对与的大小关系进行分类:(1) 当时,解集为;(2) 当时, 解集为【例3】(2005年，浙江卷，文20)已知函数和的图象关于原点对称,且.（）求函数的解析式;（）解不等式;（）若在上是增函数,求实数的取值范围.(3) 当时, 解集为.【分析及解】本题是浙江文科卷的压轴题，主要考查函数图象的对称，二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，分类讨论的数学思想以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。（）是用函数图象的对称求解函数的问题.容易求出.（）由于涉及到含有绝对值符号,所以要用分类讨论思想求解.不等式 化为 需要对和分类:当时, 不等式为 ,此不等式无解;当时, 不等式为 , 解得.于是解集为.（）,为求实数的取值范围,就要对的取值分类.(1) 当时, ,此时在上是增函数,(2) 当时,对称轴方程为 . 当时,需满足,解得; 当时, ,解得.综合(1),(2),.【例4】(2005年，天津卷，理, 18)已知.（）当时，求数列的前项和；（）求.【分析及解】 () 当时,利用错位相减法,可得二式相减得这时,就要对分类:若,则即;若,则 . ()为求,就首先要分和对求和.(1) 当时,则 =.(2) 当时,可以求得.此时,为求,又要进行第二级分类. 当时, ; 当时, =【例5】(2005年，广东卷20)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值. 【分析及解】设点A关于折痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为（t，1）（）由于的取值不同，就要对分类。（）若，则“折痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为；若，由，则，从而线段AE的中点M的坐标为，故“折痕”所在直线的方程为综上所述，“折痕”所在直线的方程为（）设“折痕”的长为注意几个特殊的值：“折痕”过AD的中点时，当“折痕”过点B时，折痕”过点D时，“折痕”过AC的中点时， ，由于有，所以在求折痕的长的最大值时，要对分为三类：（1）；（2）；（3）进行讨论。（1）当“折痕”过AD的中点时，；当“折痕”过点B时（如图4），求得所以，当时，“折痕”与y轴及均有交点，分别求得为、此时，由于l是关于k的函数，它在上是减函数，所以，当时，（2）当“折痕”过点D时，所以，当时，“折痕”与y轴及轴均有交点，分别求得为、此时，设，则，由