湖北荆州沙第五中学高中数学1.2.1正、余弦定理在实际中的应用导学案新人教A必修5

高中数学高一年级必修五第一章 第1.2.2节：正、余弦定理在实际中的应用导学案学习目标1.使学生能够运用正弦定理，余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。了解常用的测量相关术语，如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。2.结合实际测量工具，能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题。3.通过有关角的研究，让学生根据题意能准确地画出平面示意图，灵活应用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。学习重点、难点重点：分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。能根据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。 难点：根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。学法指导通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量有关的实际问题，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题。D知识链接本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么一个问题:“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？今天我们将一起学习这个神奇的方法，出示课题：正、余弦定理在实际问题中的应用。E自主学习测量中的基本术语提出问题李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45或东偏南45.导入新知实际测量中的有关名称、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角化解疑难解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节F.合作探究测量高度问题例1如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.解在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BCh；在RtABD中，ADB30，则BD h.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)即塔高AB200米类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差活学活用1.如图，A、B是水平面上两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角是25，BAD110，又在点B测得ABD40，其中D点是点C在水平面上的垂足求山高CD(精确到1 m)解：在ABD中，ADB1801104030，由正弦定理得AD1 028.5(m)，在RtACD中，CDADtan 25480(m)答：山高约为480 m.测量角度问题例2如图，在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos BAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sin ABCsin BAC.ABC45.BC与正北方向垂直CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sin BCD，BCD30.即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船类题通法 解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去活学活用2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：在ABC中，根据余弦定理，有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)舰艇需1小时靠近货船此时AB10，BC10，又AC10，所以CAB30，所以护航舰航行的方位角为75.测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解【角度一】两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧A、B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB长解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m.即A、B两点间的距离为200 m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A、B两点间的距离为_解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A、B两点间的距离为20 m.答案：20 m【角度三】两点都不可到达如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B两点间的距离为 km.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H达标检测一、选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A B.C90 D180解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B.2两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30，B在C南偏东60，则A，B之间距离为()A.a kmB.a kmCa km D2a km解析：选AABC中，ACBCa，ACB90，ABa.3有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长的长度(单位：m)是()A5 B.10C10 D10解析：选C如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，利用正弦定理可求得BB的长度在ABB中，B30，BAB753045，AB10 m，由正弦定理，得BB10(m)坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.4一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B.34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时解析：选A如图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)5.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船每小时航行()A10海里 B.20海里C30海里 D30海里解析：选D如图，连结A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2为正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245，B1B40020022010200，B1B210，乙船每小时航行30海里二、填空题6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为_km.解析：如右图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地距离为7 km.答案：77一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x(cm)答案： cm8某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile.解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BCAD，DAB30，DAC60，则在RtACD中，DCACsin DAC30sin 6015 n mile，ADACcos DAC30cos 6015 n mile，则在RtADB中，DBADtanDAB15tan 305 n mile，则BCDCDB15510 n mile.答案：10三、解答题9海岛O上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60的C处，俯角30，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60的B处，俯角60.则该船的速度为每小时多少千米？解：如图所示，设观察站A在水平面上的射影为O，依题意OBOAtan 30(千米)，OCOAtan 60 (千米)，则BC (千米)船速v2(千米/小时)10甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船正