2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线学案.doc

第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情考向分析1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)(2)双曲线：|pf1|pf2|2a(2ab0)的左、右焦点为f1，f2，左、右顶点为m，n，过f2的直线l交c于a，b两点(异于m，n)，af1b的周长为4，且直线am与an的斜率之积为，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.y21答案c解析由af1b的周长为4，可知|af1|af2|bf1|bf2|4a4，解得a，则m，n(，0)设点a(x0，y0)(x0)，由直线am与an的斜率之积为，可得，即y(x3)，又1，所以yb2，由解得b22.所以c的方程为1.(2)已知以圆c：(x1)2y24的圆心为焦点的抛物线c1与圆c在第一象限交于a点，b点是抛物线c2：x28y上任意一点，bm与直线y2垂直，垂足为m，则|bm|ab|的最大值为()a1 b2 c1 d8答案a解析因为圆c：(x1)2y24的圆心为c(1,0)，所以可得以c(1,0)为焦点的抛物线方程为y24x，由解得a(1,2)抛物线c2：x28y的焦点为f(0,2)，准线方程为y2，即有|bm|ab|bf|ab|af|1，当且仅当a，b，f(a在b，f之间)三点共线时，可得最大值为1.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练1(1)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析点(3,4)在以|f1f2|为直径的圆上，c5，可得a2b225.又点(3,4)在双曲线的渐近线yx上，.由联立，解得a3，b4，可得双曲线的方程为1.(2)(2018宁波模拟)已知双曲线c的渐近线方程是y2x，右焦点f(3,0)，则双曲线c的方程为_，又若点n(0,6)，m是双曲线c的左支上一点，则fmn周长的最小值为_答案x2162解析因为点f(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，所以双曲线的渐近线方程为yx2x，即2，又因为a2b232，联立，解得a1，b2，所以双曲线的方程为x21，设双曲线的左焦点为f，则fmn的周长为|nf|mn|mf|nf|mn|2a|mf|nf|2a|nf|2|nf|2a62，当且仅当点m为直线nf与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以fmn的周长的最小值为62.热点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e.(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系例2(1)设f1，f2分别是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，若af1f2的面积是bf1f2面积的三倍，cosaf2b，则椭圆e的离心率为()a. b. c. d.答案d解析设|f1b|k，依题意可得|af1|3k，|ab|4k，|af2|2a3k，|bf2|2ak.cosaf2b，在abf2中，由余弦定理可得|ab|2|af2|2|bf2|22|af2|bf2|cosaf2b，(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k0，a3k，|af2|af1|3k，|bf2|5k，|bf2|2|af2|2|ab|2，af1af2，af1f2是等腰直角三角形ca，椭圆的离心率e.(2)已知双曲线m：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，2c.若双曲线m的右支上存在点p，使，则双曲线m的离心率的取值范围为()a. b.c(1,2) d.答案a解析根据正弦定理可知，所以，即|pf2|pf1|，2a，所以2a，解得，而ac，即ac，整理得3e24e10，解得e1，所以1e0，b0)的一条渐近线截椭圆y21所得弦长为，则此双曲线的离心率等于()a. b. c. d.答案b解析双曲线1的渐近线方程为yx，由椭圆的对称性不妨取渐近线为yx，设渐近线与椭圆的交点为，则有解得2，则c2a2b23a2，则此双曲线的离心率e，故选b.(2)已知双曲线c：1(a0，b0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线c的一条渐近线垂直，以双曲线c的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于m，n两点，若|mn|c，则双曲线c的渐近线方程为()ayx byxcy2x dy4x答案b解析方法一由题意可设渐近线方程为yx，则直线l的斜率kl，直线l的方程为y，整理可得axbya20.焦点(c,0)到直线l的距离d，则弦长为22c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.又双曲线的离心率e1，则e2，所以 ，所以双曲线c的渐近线方程为yx.方法二圆心到直线l的距离为，c23ac2a20，c2a，ba，渐近线方程为yx.热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例3(2018浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：1(ab0)的离心率为，其右顶点a到上顶点的距离为，过点a的直线l：yk(xa)(k0)与椭圆e交于另一点b，点c为y轴上一点(1)求椭圆e的标准方程；(2)若abc是等边三角形，求直线l的方程解(1)由题意可知，椭圆e的离心率e，a2b2c2，所以所以椭圆e的标准方程为1.(2)设ab的中点为m(x0，y0)，连接cm，则由abc为等边三角形可知mcab，且|mc|ab|.联立可得(4k23)x216k2x16k2120.设b(x1，y1)，则2x1，所以x1，x0，将x0代入yk(x2)，得y0，所以m，|ab|x12|，|mc|x0|.由|mc|ab|，得，解得|k|，又因为k0，即mx00.所以点d的纵坐标yd，故46.真题体验1(2017北京)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.2(2017全国改编)若双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则双曲线c的离心率为_答案2解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为.由点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以双曲线c的离心率e2.3(2017全国改编)过抛物线c：y24x的焦点f，且斜率为的直线交c于点m(m在x轴上方)，l为c的准线，点n在l上且mnl，则m到直线nf的距离为_答案2解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式，可得直线mf的方程为y(x1)联立方程组解得 或点m在x轴的上方，m(3,2)mnl，n(1,2)|nf|4，|mf|mn|3(1)4.mnf是边长为4的等边三角形点m到直线nf的距离为2.4(2017山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为f的抛物线x22py(p0)交于a，b两点，若|af|bf|4|of|，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去x，得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|af|bf|4|of|，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.押题预测1已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过f2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点a，交另一条渐近线于点b，且，则该双曲线的离心率为()a. b. c. d2押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案a解析由f2(c,0)到渐近线yx的距离为db，即b，则3b.在af2o中，c，tanf2oa，tanaob，化简可得a22b2，即c2a2b2a2，即e，故选a.2已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且点在该椭圆上(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆c的左焦点f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，若aob的面积为，求圆心在原点o且与直线l相切的圆的方程押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解(1)由题意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因为椭圆c经过点，所以1，解得a24，所以b23，故椭圆c的方程为1.(2)由(1)知f1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，显然0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，所以|y1y2|，所以saob|f1o|y1y2|，化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)又圆o的半径r，所以r，故圆o的方程为x2y2.a组专题通关1(2017全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以c的方程为1.故选b.2(2018嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线c：x2y21的右顶点为a，过点a的直线l与双曲线c的两条渐近线交于p，q两点，且2，则直线l的斜率为()a bc2 d3答案d解析由题意得双曲线的渐近线方程为xy0，点a的坐标为(1,0)当直线l的斜率不存在或斜率为1或0时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在且不等于1和0时，设直线l的方程为yk(x1)，分别与双曲线的两条渐近线联立，解得或则由2，得yp2yq，即2或2，解得k3或k3，故选d.3(2018全国)已知双曲线c：y21，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m，n.若omn为直角三角形，则|mn|等于()a. b3 c2 d4答案b解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x.设两渐近线的夹角为2，则有tan ，所以30.所以mon260.又omn为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设mnon，如图所示在rtonf中，|of|2，则|on|.则在rtomn中，|mn|on|tan 2tan 603.故选b.4(2018浙江省衢州二中模拟)设椭圆e：1(ab0)的一个焦点为f(2,0)，点a(2,1)为椭圆e内一点，若椭圆e上存在一点p，使得|pa|pf|8，则椭圆e的离心率的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析设椭圆的左焦点为f2(2,0)，则|pa|af2|pf2|pa|af2|，即|pa|1|pf2|pa|1，当且仅当p，a，f2三点共线时，等号成立，则2a|pf|pf2|7,9，则椭圆的离心率e，故选a.5抛物线c：y28x的焦点f的坐标为_，若点p(，m)在抛物线c上，则线段pf的长度为_答案(2,0)2解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为x2，因为点p(，m)在抛物线上，所以pf的长度等于点p(，m)到抛物线的准线的距离，即|pf|2.6(2018北京)已知椭圆m：1(ab0)，双曲线n：1.若双曲线n的两条渐近线与椭圆m的四个交点及椭圆m的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆m的离心率为_；双曲线n的离心率为_答案12解析方法一双曲线n的渐近线方程为yx，则tan 60，双曲线n的离心率e1满足e14，e12.由得x2.如图，设d点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ed|2xc，4x2c2.a2b2，得3a46a2b2b40，320，解得23.椭圆m的离心率e2满足e142.e21.方法二双曲线n的渐近线方程为yx，则tan 60.又c12m，双曲线n的离心率为2.如图，连接ec，由题意知，f，c为椭圆m的两焦点，设正六边形的边长为1，则|fc|2c22，即c21.又e为椭圆m上一点，则|ef|ec|2a，即12a，a.椭圆m的离心率为1.7已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，过点f的直线l与抛物线c交于a，b两点，且直线l与圆x2pxy2p20交于c，d两点，若|ab|3|cd|，则直线l的斜率为_答案解析由题意得f，由x2pxy2p20，配方得2y2p2，所以直线l过圆心，可得|cd|2p，若直线l的斜率不存在，则l：x，|ab|2p，|cd|2p，不符合题意，直线l的斜率存在可设直线l的方程为yk，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立化为x2x0，所以x1x2p，所以|ab|x1x2p2p，由|ab|3|cd|，所以2p6p，可得k2，所以k.8已知a，b是椭圆c上关于原点对称的两点，若椭圆c上存在点p，使得直线pa，pb斜率的绝对值之和为1，则椭圆c的离心率的取值范围是_答案解析不妨设椭圆c的方程为1(ab0)，p(x，y)，a(x1，y1)，则b，所以1，1，两式相减得，所以，所以直线pa，pb斜率的绝对值之和为2，由题意得1，所以a24b24a24c2，即3a24c2，所以e2，又因为0e1，所以e0)的直线l与c交于a，b两点，|ab|8.(1)求l的方程；(2)求过点a，b且与c的准线相切的圆的方程解(1)由题意得f(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|ab|af|bf|(x11)(x21).由题意知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为xy10.(2)由(1)得ab的中点坐标为(3,2)，所以ab的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为f，上顶点为b.已知椭圆的离心率为，点a的坐标为(b,0)，且|fb|ab|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为p，且l与直线ab交于点q.若sinaoq(o为原点)，求k的值解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有 ，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|fb|a，|ab|b，由|fb|ab|6，可得ab6，从而a3，b2.所以椭圆的方程为1.(2)设点p的坐标为(x1，y1)，点q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|pq|sinaoqy1y2.又因为|aq|，而oab，所以|aq|y2.由sinaoq，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1 .由题意求得直线ab的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值为或.b组能力提高112000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为ph，ab为地面直径，顶角为2，那么不过顶点p的平面与ph夹角a时，截口曲线为椭圆；与ph夹角a时，截口曲线为抛物线；与ph夹角a0时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线amab，过am的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与pb的交点为c，可知ac为长轴那么当c在线段pb上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为()a圆的一部分 b椭圆的一部分c双曲线的一部分 d抛物线的一部分答案d解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点q到焦点f的距离等于长半轴a，但短轴的端点q到直线am的距离也是a，即说明短轴的端点q到定点f的距离等于到定直线am的距离，且点f不在定直线am上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选d.12已知直线mn过椭圆y21的左焦点f，与椭圆交于m，n两点，直线pq过原点o与mn平行，且与椭圆交于p，q两点，则_.答案2解析方法一特殊化，设mnx轴，则，24, 2.方法二由题意知f(1,0)，当直线mn的斜率不存在时，|mn|，|pq|2b2，则2；当直线mn的斜率存在时，设直线mn的斜率为k，则mn方程为yk(x1)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，联立方程整理得(2k21)x24k2x2k220.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，则|mn|.直线pq的方程为ykx，p