经典几何习题参考答案.doc

经典几何习题参考答案一 概念题1 欧几里得的几何原本的概要。答：在几何原本中, 欧几里得先对一些基本概念 (如点、直线、平面等) 给出了定义:1） 点没有部分;2） 线有长度, 但没有宽度;3） 线的界限是点;4） 直线是同其中各点看齐的线;5） 面只有长度和宽度;6） 面的界限是线; 7） 平面是与其上的直线看齐的那种面;8） 圆是包含在一条 (曲) 线里的那种平面图形, 使得从其内部某一点连到该线的所有直线 (线段) 都彼此相等, 并称圆内上述的那个点为圆的中心 (简称圆心);9） 平行直线是在同一平面内, 而且往两个方向无限延长后, 在这两个方向上都不会相交的直线。欧几里得总共引入了119个定义, 承认了五条公设:1） 等于同量的量是相等的;2） 等量加等量还是等量;3） 等量减等量还是等量;4） 能重合的量是全等的;5） 整体大于部分。接着, 欧几里得再给出了五个公理:I. 从每个点到每个其他的点必定可以引直线。II. 每条直线都可以无限延长。III. 以任意点作中心, 通过任何给定的另一点, 可以作一圆。IV. 所有直角都相等。V. 同平面内如有一条直线与另两条直线相交, 且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角, 则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。 欧几里得在此基础上运用逻辑推断, 导出了许许多多的命题 (在几何原本中包含了 465 个命题), 从而构成了欧几里得几何学。2 Hilbert的欧几里得几何的公理系统概要。答：1899 年 Hilbert 提出了欧氏几何的一套完整的公理体系。 首先他提出了八个基本概念, 其中三个是基本对象: 点、直线、平面; 五个是基本关系: 点属于 (或结合) 直线, 点属于 (或结合) 平面, 一点在另两点之间, 两线段合同, 两角合同。 这些基本概念应服从下述五套公理:结合公理: 共有 8 个。. 对于两个不同的点, 恒有一直线结合其中的每个点。. 对于两个不同的点, 至多有一直线结合其中的每个点。. 每条直线上至少有两个不同的点。. 至少有三个不同的点不在一条直线上。. 对于不在一条直线上的三个点, 恒有一平面通过它们中的每个点。. 每个平面至少有一个点。. 对于不在一直线的三个点, 至多有一平面通过它们中的每个点。.如果直线上的两个点在一个平面上, 则此直线上的每个点都在这个平面上。. 如果两平面有一公共点, 则至少还有另外一个公共点。. 至少有四点不在同一平面上。顺序公理: 共有 4 个。 . 若点在点和点之间（记为）, 则,是一直线上的不同三点, 而且也在和之间。. 对于任意两点和, 直线上至少有一点, 使得在和之间。. 在一直线上的任意三个点中, 至多有一点在其余两点之间。. 巴士公理 (Pasch) 与一个三角形共面、但不过其顶点的直线, 若与三角形的一边相交, 则必与另一边相交。合同公理: 共有 5 个。 . 设, 是直线上的两点, 是同一或另一直线上的一点, 则在上点的已知一侧恒有一点, 使线段合同于线段. 记为. 若两线段 (可以是相同的线段) 都合同于第三线段, 则这两个线段也合同。 即 及 . 设开线段, 均在直线上, 而且没有公共点; 开线段, 均在同一或另一直线上, 亦无公共点。 若, , 则. . 已知平面上的一角, 指定平面上的一直线的一侧, 以及这条直线上以点为原点的一条射线, 则上恰有一射线, 使得合同于, 且在的已知一侧。 记为. . (三角形合同公理) 对于两个三角形和, 若, , 则. 连续公理;IV. (Dedkind 公理) 若线段两端及其内部的所有的点能被分为两类, 具有下列性质: (1) 每点恰属一类; 属于第一类, 属于第二类, (2) 第一类中异于的每个点在和每个第二类点之间, 则必存在一点, 使得, 间的点都属于第一类, 而, 之间的点都属于第二类。 称点为 Dedkind 点或界点。 由它所决定的分类叫做一个 Dedkind 分割。平行公理:V. (欧氏平行公理) 对于任何直线和不在其上的任何点, 至多有一条直线过, 而且与直线共面, 但不相交。从这些公理出发, 根据逻辑推断所得出的一系列命题就构成了欧氏几何的全部内容。3. 试叙述非欧几何的上半平面模型。答：基本对象: 取上半平面内部的点（不包括轴上的点）作为非欧几何中的“点”, 取上半平面中以为圆心的上半开圆周或者上半平面中与轴垂直的开直线作为非欧几何中的“直线”。 基本关系：点在直线上；顺序关系；合同关系。“点在直线上”和“顺序关系都能如图中所示地去理解。对于合同关系。我们先来定义上半平面中点的“对称”变换。有两种“对称”: 一种是关于与轴垂直的开直线的“对称”, 它实际上就是点关于直线的镜面反射, 如图中的点被映至点； 另一种是关于以轴上的点为圆心, 为半径的上半开圆周的“对称”变换, 它实际上就是关于圆周的反演, 它将点变到点, 使得 如果通过一系列的“对称”的合成能够将一个线段映到另一个线段, 那么我们就认为这两个线段是合同的。同样, 通过一系列的“对称”的合成能够将一个角映至另一个角, 那么我们就认为这两个角是合同的。我们在对基本对象、基本关系作出了上述理解后, 可逐一地验证公理 I, II, III, IV 和 V 的正确性。于是我们得到了非欧几何的上半平面模型。4. 试叙述非欧几何的Klein上半平面模型。答：基本对象: 取单位圆盘内部中的点作为非欧几何中的“点”, 取中的弦作为非欧几何中的“直线”。 基本关系：点在直线上；顺序关系；合同关系。“点在直线上”和“顺序关系”如图中所示如同在欧氏几何中那样去理解。对于合同关系。设有两个线段, 线段在直线上, 线段在直线上。 如果存在一个中的射影自同构, 使得在变换下, 线段变到了线段, 那么我们就认为线段和线段是合同的, 记为.两个角的合同关系可理解为存在着中的一个射影自同构, 使得其中一个角的顶点映到另一个角的顶点, 同时将其中一个角的两条射线分别映到另一个角的两条射线。在对基本对象、基本关系作了上述的理解后, 我们可以逐一地去验证公理系统 I, II, III, IV 和 V 是成立的, 我们就得到了非欧几何的 Klein 模型。5仿射空间、仿射坐标系、仿射变换群的定义。答：设有一个向量空间, 一个集合以及一种运算 “+”： 它们之间满足下面两个条件：（1）（结合律） 对任何, 及任何, 有 ，（2）对任何, 必存在唯一的向量, 使得，我们称集合是从属于向量空间的仿射空间, 也简称为仿射空间。如果是维向量空间, 则我们称是维仿射空间。对维仿射空间,选定个点, 其中一点作为基点, 另外个点分别作为确定条仿射直线走向的“单位”点。 记 ，于是对仿射空间中的一般的点, 就有 ，我们称这个点确定了仿射空间中的一个仿射坐标系（或称为仿射标架）, 称为点在仿射标架下的仿射坐标。 维仿射空间中的同一个点在仿射坐标系的不同选取下, 它们的仿射坐标之间的变换规律是用仿射变换来描述的, 即两套仿射坐标和之间满足 其中为常数. 且, 也就是说它是平移及非异线性变换的合成。另一方面, 我们选定了一个仿射坐标系后, 用上述变换式去表述仿射空间中点的一种变换, 它的变前点的仿射坐标和变后点的仿射坐标之间满足上式。我们称仿射空间中这种点的变换为点的仿射变换, 即它是点的平移变换和点的非异线性变换的合成。仿射变换全体所组成的群称为仿射变换群。 或定义为：设是仿射直线中点的一个变换 如果对中任何两点及任意实数和（但满足）, 成立 ，则称变换为中点的一个仿射变换。6仿射直线上三点的单比的定义。答：对仿射直线上三点（其中是两个不同的点）。如果采用作为仿射标架, 则称点关于仿射标架的仿射坐标为三点的单比, 记为.7射影空间、射影坐标系、射影变换群的定义。答：维射影空间乃是维空间中过某定点的直线全体, 即有 其中非零数组之间的等价关系为： 存在一个非零实数，使得，所属的等价类即为中的一点, 且称为此射影空间中点的齐次坐标。 在维射影空间中选定个点, 其中一点作为基点, 另外个点, 分别作为确定条仿射直线走向的点，而将点作为“单位”点。 设是中的原点, 将朝直线方向投影，在这个方向是分别得到了向量. 于是对维射影空间中的一般点, 就有 ，我们称这个点确定了射影空间中的一个射影坐标系（或称为射影标架）, 称为点在射影标架下的射影坐标。 维射影空间中的同一个点在射影坐标系的不同选取下, 它们的射影坐标之间的变换规律可用射影变换来描述的, 即两套射影坐标 和之间满足 其中为常数. 且. 另一方面, 当我们选定了一个射影坐标系后, 用上述变换式去表述射影空间中点的一种变换, 它的变前点的射影坐标和变后点的射影坐标之间满足上式。我们称射影空间中这种点的变换为点的射影变换。射影变换全体所组成的群称为射影变换群。8试叙述射影直线上不同四点的交比的定义。答：对射影直线上不同四点，如果采用作为射影标架, 设点在射影标架下的射影坐标为，则称为四点的交比, 记为四点.9直射变换、逆射变换的定义。答：射影平面中点的射影变换称为直射变换。把视为点的齐次坐标, 而把视为射影平面中一条射影直线的齐次坐标, 那么变换 把射影平面中的点变到了射影平面中的一条射影直线。我们把这种变换称为射影平面中的逆射变换。10试叙述射影平面中配极的定义。答：逆射变换满足或矩阵是对称阵，则称为射影平面中的配极变换, 简称为配极。11试叙述射影几何中Desargues定理、Desargues逆定理、Pascal定理、 Pappus定理、Pascal逆定理、Brianchon.定理、Brianchon.逆定理。答：Desargues定理：如果两个三角形的对应顶点的连线相交于一点, 则对应边的交点必定是共线的。 Desargues逆定理：如果两个三角形的对应边的交点是共线的, 则对应顶点的连线必相交于同一点。Pascal定理：非退化二次曲线的内接六点形的三对对边的交点必定共线。 Pascal逆定理：如果一个六点形的三对对边的交点位于一条直线上, 则这个六点形必为某一条二次曲线的内接六点形。Pappus定理：设有两条直线和, 直线上有三点, 直线上有三点，记为连线与的交点, 为连线与的交点, 为连线与的交点。 则这三个点, , 必共线。 Brianchon定理：非退化的二次曲线的外切六点形的三对对顶点的连线必交于同一点。 Brianchon逆定理：如果一个六点形的三对对顶点的连线交于一点, 则这个六点形必为某一条二次曲线的外切六点形。二 填空题：1 平面上的点的齐次坐标是 或。2 直线的齐次坐标方程是 。3 直线的齐次坐标方程是 。4 普通直线上的无穷远点的坐标是 。5 射影直线上的射影变换的基本不变量是 交比。6 对偶原理的内容是 如果原命题成立, 则其对偶命题也必成立。7 如果一个六点形的三对对边的交点共线，那么它的六个顶点在一个 二次曲线的内接六点形 上。三 计算题：1 设共线四点，的非齐次坐标分别为，求交比的值。解：，的齐次坐标分别为，2 设四个不同点，共线，试证明交比的下列性质：（1）=；证明：。(2) 证明：。3 画出下图中的图形的对偶图形。解：左图中的点分别对偶于右图中的直线；左图中的直线分别对偶于右图中的点；左图中的直线共点于对偶于右图中的点共线（直线）;左图中的直线共点于对偶于右图中的点共线（直线）;左图中的点共线（直线）对偶于右图中的直线共点于.4求射影变换的不变点。解：不变点是指满足的点，即，解得，所以不变点是。5 求一维射影变换下点的对应点的坐标。解：，所以点在射影变换下对应点的坐标是。6 求射影变换下，及的对应直线。解：由第一式加第二式和第二式加第三式得：，消去得：，因此的对应直线是，的对应直线是。7 试求点关于给定二次曲线的极线。解：的齐次坐标为，的齐次坐标方程为，所以，设极线方程为，所以极线方程为。8 试求直线关于二次曲线的极点。解：的齐次坐标为，的齐次坐标方程为，所以，设极点坐标为，则，解得，所以极点坐标为。四 证明题：1 已知三角形的三角平分线,交于点，设，交于，交于，交于。试利用 Desargues 定理证明：三点，共线。证明：在三角形与三角形中，因为对应顶点的连线，交于点，根据Desargues 定理：对应边的交点必定是共线的。由于，所以，共线。2 已知三角形的三条高,交于点，设交于，交于，交于。证明：三点，共线。证明：在三角形与三角形中，因为对应顶点的连线，交于点，根据Desargues 定理：对应边的交点必定是共线的。由于，所以，共线。3i)已知射影直线上两点，的齐次坐标分别为，试证明：此射影直线上任何点的齐次坐标可表为证明：设此射影直线的方程为，则把它看成的线性方程组，它有非零解，所以系数行列式为零。，因此，线性相关，即存在不全为零的使得，若，则，说明，是同一点，矛盾，若，则，说明不是射影平面上的点，矛盾，所以，不全为零。令，得 。ii)证明：在射影平面中，直线与非退化的二次曲线的交点不能多于两个。证明：射影平面中非退化的二次曲线的的标准型方