高考数学一轮复习 2.7 函数与方程精品课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使 成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 7函数与方程 f x 0 基础知识自主学习 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c x轴 零点 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无 一个 两个 3 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 f a f b 0 一分为二 零点 f a f b 0 第三步 计算 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 f x1 f a f x1 0 f x1 f b 0 f x1 0 基础自测1 若函数f x ax b有一个零点为2 则g x bx2 ax的零点是 a 0 2b 0 c 0 d 2 解析由f 2 2a b 0 得b 2a g x 2ax2 ax ax 2x 1 令g x 0 得x 0 x g x 的零点为0 c 2 函数f x 3ax 2a 1在 1 1 上存在一个零点 则a的取值范围是 a b a 1c d 解析f x 3ax 2a 1在 1 1 上存在一个零点 则f 1 f 1 0 即 d 3 函数图象与x轴均有公共点 但不能用二分法求公共点横坐标的是 解析图b不存在包含公共点的闭区间 a b 使函数f a f b 0 b 4 下列函数中在区间 1 2 上一定有零点的是 a f x 3x2 4x 5b f x x3 5x 5c f x mx2 3x 6d f x ex 3x 6解析对选项d f 1 e 30 f 1 f 2 0 d 5 设函数则函数f x 的零点是 解析当x 1时 当x 1时 舍去大于1的根 的零点为 题型一零点的判断 例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x log2 x 2 x x 1 3 第 1 问利用零点的存在性定理或直接求出零点 第 2 问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 方法一 f 1 12 3 1 18 200 f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 方法二令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 f x x2 3x 18 x 1 8 有零点 2 方法一 f 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log25 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 方法二设y log2 x 2 y x 在同一直角坐标系中画出它们的图象 从图象中可以看出当1 x 3时 两图象有一个交点 因此f x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 函数的零点存在性问题常用的办法有三种 一是用定理 二是解方程 三是用图象 值得说明的是 零点存在性定理是充分条件 而并非是必要条件 探究提高 知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x3 1 2 x 0 1 解 1 f x x3 1 x 1 x2 x 1 令f x 0 即 x 1 x2 x 1 0 x 1 f x x3 1有零点 1 2 方法一令f x 0 x 1 而 1 0 1 x 0 1 不存在零点 方法二令y x 在同一平面直角坐标系中 作出它们的图象 从图中可以看出当0 x 1时 两图象没有交点 故x 0 1 没有零点 题型二函数零点个数的判断 例2 求函数y lnx 2x 6的零点个数 该问题转化为求函数y lnx与y 6 2x的图象的交点个数 因此只需画出图 数形结合即可 思维启迪 解在同一坐标系画出y lnx与y 6 2x的图象 由图可知两图象只有一个交点 故函数y lnx 2x 6只有一个零点 若采用基本作图法 画出函数y lnx 2x 6的图象求零点个数 则太冗长 构造新函数y lnx与y 6 2x 用数形结合法求交点 则简洁明快 探究提高 知能迁移2已知函数 a 1 判断f x 0的根的个数 解设f1 x ax a 1 f2 x 则f x 0的解即为f1 x f2 x 的解 即为函数f1 x 与f2 x 图象交点的横坐标 在同一坐标系中 作出函数f1 x ax a 1 与f2 x 的图象 如图所示 两函数图象有且只有一个交点 即方程f x 0有且只有一个根 题型三零点性质的应用 例3 12分 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 1 可结合图象也可解方程求之 2 利用图象求解 思维启迪 解 1 方法一 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 4分因而只需m 2e 则g x m就有零点 6分方法二作出的图象如图 4分可知若使g x m有零点 则只需m 2e 6分 方法三解方程由g x m 得x2 mx e2 0 此方程有大于零的根 4分等价于故m 2e 6分 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x f x 中函数g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出 x 0 的图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 10分故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 12分 此类利用零点求参数的范围的问题 可利用方程 但有时不易甚至不可能解出 而转化为构造两函数图象求解 使得问题简单明了 这也体现了当不是求零点 而是利用零点的个数 或有零点时求参数的范围 一般采用数形结合法求解 探究提高 知能迁移3是否存在这样的实数a 使函数f x x2 3a 2 x a 1在区间 1 3 上与x轴恒有一个零点 且只有一个零点 若存在 求出范围 若不存在 说明理由 解 3a 2 2 4 a 1 0 若实数a满足条件 则只需f 1 f 3 0即可 f 1 f 3 1 3a 2 a 1 9 9a 6 a 1 4 1 a 5a 1 0 所以a 或a 1 检验 1 当f 1 0时 a 1 所以f x x2 x 令f x 0 即x2 x 0 得x 0或x 1 方程在 1 3 上有两根 不合题意 故a 1 2 当f 3 0时 a 解之得x 或x 3 方程在 1 3 上有两根 不合题意 故a 综上所述 a1 1 函数零点的判定常用的方法有 零点存在性定理 数形结合 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究g x f x g x 的零点 3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 其实质是通过不断地 取中点 来逐步缩小零点所在的范围 当达到一定的精确度要求时 所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 对于函数y f x x d 我们把使f x 0的实数x叫做函数的零点 注意以下几点 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 4 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 失误与防范 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 事实上 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 一 选择题1 设f x 3x x2 则在下列区间中 使函数f x 有零点的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 1 d 1 0 解析 f 1 3 1 1 2 f 0 30 02 1 0 f 1 f 0 0 有零点的区间是 1 0 d 定时检测 2 2009 天津理 4 设函数 x 0 则y f x a 在区间 1 e 内均有零点b 在区间 1 e 内均无零点c 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点d 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 解析因为因此f x 在内无零点 因此f x 在 1 e 内有零点 答案d 3 2009 福建文 11 若函数f x 的零点与g x 4x 2x 2的零点之差的绝对值不超过0 25 则f x 可以是 a f x 4x 1b f x x 1 2c f x ex 1d 解析 g x 4x 2x 2在r上连续且设g x 4x 2x 2的零点为x0 则 又f x 4x 1零点为f x x 1 2零点为x 1 f x ex 1零点为x 0 零点为答案a 4 方程 x2 2x a2 1 a r 的解的个数是 a 1b 2c 3d 4解析 a r a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 方程有两解 b 5 方程 x x 1 k 0有三个不相等的实根 则k的取值范围是 a b c d 解析本题研究方程根的个数问题 此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题 其次是直接求出所有的根 本题显然考虑第一种方法 如图 作出函数y x x 1 的图象 由图象知当k 时 函数y k与y x x 1 有3个不同的交点 即方程有3个实根 答案a 6 设f x x3 bx c b 0 1 x 1 且则方程f x 0在 1 1 内 a 可能有3个实数根b 可能有2个实数根c 有唯一的实数根d 没有实数根解析 f x x3 bx c b 0 f x 3x2 b 0 f x 在 1 1 上为增函数 又 f x 在内存在唯一零点 c 二 填空题7 若函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 则函数g x bx2 ax 1的零点是 解析 g x 6x2 5x 1的零点为 8 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 由根与系数的关系知 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 2x2 x 3 0 解集为 9 已知y x x 1 x 1 的图象如图所示 今考虑f x x x 1 x 1 0 01 则方程f x 0 有三个实根 当x1时 恰有一实根 则正确结论的编号为 解析 f 2 2 3 1 0 01 5 990 即f 2 f 1 0 由图知f x 0在 1 0 上没有实数根 所以 不正确 又 f 0 5 0 5 0 5 1 5 0 01 0 3650 即f 0 5 f 1 0 所以f x 0 在 0 5 1 上必有一个实根 且f 0 f 0 5 0 f x 0在 0 0 5 上也有一个实根 f x 0在 0 1 上有两个实根 不正确 由f 1 0且f x 在 1 上是增函数 f x 0 f x 0在 1 上没有实根 不正确 并且由此可知 也正确 答案 三 解答题10 已知函数f x 4x m 2x 1有且仅有一个零点 求m的取值范围 并求出该零点 解 f x 4x m 2x 1有且仅有一个零点 即方程 2x 2 m 2x 1 0仅有一个实根 设2x t t 0 则t2 mt 1 0 当 0 即m2 4 0 m 2时 t 1 m 2时 t 1不合题意 舍去 2x 1 x 0符合题意 当 0 即m 2或m 2时 t2 mt 1 0有两正或两负根 即f x 有两个零点或没有零点 这种情况不符合题意 综上可知 m 2时 f x 有唯一零点 该零点为x 0 11 关于x的二次方程x2 m 1 x 1 0在区间 0 2 上有解 求实数m的取值范围 解设f x x2 m 1 x 1 x 0 2 若f x 0在区间 0 2 上有一解 f 0 1 0 则应有f 2 0 又 f 2