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总练习1、设为实数,证明:(1)(2) 证 因为 所以2、设和都是上的初等函数,定义,.试问和是否为初等函数?解:因为所以是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,故是初等函数.又因为所以也是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,从而是初等函数.3、 设函数,求:.4、 已知,求.解: .5、 利用函数求解:a) 某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表,余额满3人可增选1名,写出可推选代表人数与班级学生数之间的函数关系(假设每班学生数为人);b) 正数经四舍五入后得正数,写出与之间的函数关系.解: (1) 因余额满3人可增选1名,也就是说可在原来基础上增加2人后取整,于是(2)由定义知.6、 已知函数的图形,试作出下列各函数的图形:(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7)解:(1) 和的图形关于轴对称(2)和的图形关于轴对称(3) 和的图形关于原点对称(4) (5) =(6) (7) 它们的图象如图1-14-图1-167、 已知函数f和g的图象,试作出下列函数的图形:(1)(2) 解 (1),(2)的图形如图1-17和图1-188、 设f、g和h为递增函数，证明：若，则.证 由题设条件，有，因而.9.设f、g为区间上递增函数,证明和都是上的递增函数.证 对任意的，由f、g在上递增知，因之，.从而,即在上是递增函数.同理可证在上是递增函数.10.设为上的奇(偶)函数,证明:若在上递增,则在上递增(减).证: 当为奇函数时,对任意的,有,且.而,从而有,即,所以在上是递增的.当为偶函数时,类似地可以证明结论成立.11.证明:(1) 奇函数与奇函数之和仍为奇函数;(2)偶函数与偶函数之和仍为偶函数;(3)奇函数与偶函数的乘积是奇函数;(4) 奇函数与奇函数的乘积是偶函数;(5) 偶函数与偶函数的乘积是偶函数.证:只证(1)、(3)，其余可以类似地证明.设,为上的奇函数, ,为上的偶函数.(1) 令,则对任意的,所以是上的奇函数.(3) 令,则对任意的,所以是上的奇函数.12.设,为上有界函数,证明:.证: 对任意,由于,所以,故 (1)由不等式(1)又有所以同理有对任意,由于,所以故 (2)由不等式(2)知所以即同理有13. 设,为上有界函数,且证明: 证: (1) 只证第一个和第三个不等式.由且,所以故同理可以证明(2) 第二个不等式显然成立14.延拓定义在上的函数到整个实数轴上,使所得的函数为()奇函数()偶函数.设(1)(2)解: (1)令则是奇函数, 是偶函数, 且都是延拓.(2)令则是奇函数, 是偶函数, 且都是延拓.注:一般地令,则是上的奇函数, 是上的偶函数, 且都是的延拓.15.设为定义在上以为周期的函数.证明:若在上有界,则在上有界.证:因为在上有界,从而存在,对任意的,有.对任意的,
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