湖北黄冈中学高三数学第二轮复习第37讲棱柱、棱柱、多面体学案

湖北省黄冈中学高三数学第二轮复习第37讲棱柱、棱柱、多面体学案一考试要求（1）会用反证法证明简单的问题。（2）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质（3）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质（4）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（5）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。二考点扫描（1）棱柱1棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两侧棱的截面是平行四边形。底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面是正方形棱长都相等 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体【定理】长方体的一条对角线与面所成的角分别为，则有，与棱所成的角分别为，则有，棱柱体积公式：（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）；直棱柱剪截体体积；斜三棱柱体积公式；（2）棱锥1正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心2正棱锥的性质1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。3【定理】如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。4棱锥的体积V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高（4）多面体及球1经纬度球面距离：两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧长；2球的截面圆的性质：球心到截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半 径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2d2。3方法：球面上A,B两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。4关于组合体体积的计算问题：即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.多面体的体积等于多面体的表面积与其内切球半径乘积的倍.正多面体的内切球和外接球的球心重合.并非所有的多面体都有外接球或内切球5三小题训练（1）（2002北京）设命题甲：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件（2）（2000上海）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等）（3）有下列命题：过球面上任意两点只能作一个球的大圆；球的任意两个大圆的交点的连结是球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球是与定点的距离等于定长的所有点的集合；球面积是它大圆面积的4倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面上以这两点为端点的劣弧的长，其中正确命题的个数是（ ）A、 2 B、3 C、4 D、5（4）（2005全国卷）如图6，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，则该多面体的体积为 A B C D（5）（2005全国卷III）直三棱柱体积V，点P、Q分别在侧棱上，则四棱锥B-APQD的体积为（ ）A B C D（6）（2005年全国卷）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）（A）（B）（C）（D）（7）自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则=_。四典型例题 例1已知，如左上图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E是棱DD1上的点，截面EACD1B，而且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a，求三棱锥B1EAC的体积。例2、（1）把地球当作半径为R的球，地球上A、B两点都在北纬的纬线上，A、B两点的球。计算球大圆在A、B两点间的劣弧长。（2）半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆上，若正方体的一棱长为，求半球的半径。例3（05天津卷）如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点.（）求与底面ABC所成的角；（）证明/平面；（）求经过四点的球的体积.五。强化训练1(2005年高考全国卷II理16文16)下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）2（2005年江西卷）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD图963（04全国卷16）下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱。其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。4.（04北京卷11）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是 cm，表面积是 cm2.5（2000全国）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A.2 B.3 C.6 D.6（1999全国理，10）如图96，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD 是 边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A. B.5 C.6 D. 7（1995全国，4）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A. B. C.2a2 D.3a28（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.20 B.25 C.50 D.2009（1996全国文12，理9）将边长为a的正方体ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为（ ）A. B. C. D.10（1994全国，13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ABBCCA2，则球面面积是（ ）A. B. C.4 D.11（2003年北京卷）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . 12（2000春季北京、安徽，16）如图914是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_.13一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_。14点P是ABC平面外一点，且P在ABC三边距离相等，则P点在平面上的射影是ABC的 心。 15已知平面及以下三个几何体：长、宽、高皆不相等的长方体底面为平形四边形但不是矩形和菱形的四棱锥正四面体。这三个几何体在平面上的射影可以是正方形的几何体是 ABC D1704河南 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）ABCD18已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_19（05全国）一个三棱锥的三个侧面的中心连成一个三角形，求其面积与底面的比值 20（2003年江苏卷）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A B C D棱柱、棱柱、多面体 作业037A1（2005年全国卷）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）（A）（B）（C）（D）2自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则=_。3（04全国卷7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A B C D 4（04福建卷10）如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（A）arcsin（B）arccos（C）arcsin（D）arccos5（2003年江苏卷）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A B C D6（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ ）A.4B.2 C.2 D.7（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）A3B4C3D68（05全国）一个三棱锥的三个侧面的中心连成一个三角形，求其面积与底面的比值 7一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_。8(2005年高考全国卷理16文16)在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则 四边形BFDE一定是平行四边形.四边形BFDE有可能是正方形.四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形.平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）9。已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_10底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥11点P是ABC所在平面外一点，且P在ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是ABC的 心。 12若在体积为9的斜棱柱中，S是上的一点，三棱锥S-ABC的体积为2 ，则三棱锥的体积为 。13已知平面及以下三个几何体：长、宽、高皆不相等的长方体底面为平形四边形但不是矩形和菱形的四棱锥正四面体。这三个几何体在平面上的射影可以是正方形的几何体是 ABCD14在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1 中，设H为截面ACD1内一点，求H到正方体表面ADD1A1、DCC1D1、ABCD的距离的平方和的最小值 .1504河南 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于（ ）ABCDACBC1B1A1EF1605天津卷如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点.（）求与底面ABC所成的角；（）证明/平面；（）求经过四点的球的体积. 湖北省黄冈中学高三第二轮复习数学第37讲直线与平面学案一考试要求（1）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（2）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（3）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（4）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（5）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。二考点扫描（1）棱柱1 棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面是正方形棱长都相等 四棱柱 平行六面体 直平行六面体长方体 正四棱柱 正方体2【定理】长方体的一条对角线与面所成的角分别为，则有，与棱所成的角分别为，则有，3棱柱体积公式：（其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）；直棱柱剪截体体积；斜三棱柱体积公式；（2）棱锥1正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心2正棱锥的性质1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。3【定理】 如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。4棱锥的体积V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高（4）多面体及球1经纬度及球面距离：两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长2球的截面圆的性质：球心到截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：r2=R2d2。3方法：球面上A,B两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。4关于组合体体积的计算问题。组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.多面体的体积等于多面体的表面积与其内切球半径乘积的倍.正多面体的内切球和外接球的球心重合.并非所有的多面体都有外接球或内切球三典型例题例1（1）（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时.若命题乙成立，命题甲一定成立.（2）（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等）解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等（3）有下列命题：过球面上任意两点只能作一个球的大圆；球的任意两个大圆的交点的连结是球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球是与定点的距离等于定长的所有点的集合；球面积是它大圆面积的4倍；球面上两点的球面距离，是这两点所在截面上以这两点为端点的劣弧的长其中正确命题的个数是（ B ）A、 2 B、3 C、4 D、5（3）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，则该多面体的体积为A B C D解析：在多面体ABCDEF中，作一个直截面ADM，则，该多面体的体积为，容易得到。所以，。答案选B（4）直三棱柱体积V，点P、Q分别在侧棱上，则四棱锥B-APQD的体积为（ ）A B C D解析：四棱锥B-APQD的体积等于。四。型例题例1.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E是棱DD1上的点，截面EACD1B，而且面EAC与底面ABCD所成的角为450，AB=a，求三棱锥B1EAC的体积。分析：体积计算方法很多，根据不同方法，本题有不同解法。解法一：连BD交AC于O，连OED1BOE EOD是二面角E-AC-D的平面角EOD=450 D1D=2DE=aB1DA1C1D1PCQABOEHS=a2 连B1D1交EO于H，在正方形BDD1B1中，B1DOE，又ACOE，ACODAC平面BDD1B1 平面EAC平面BDD1B1 B1H平面EAC又B1H=B1D= V=a2a=a3解法二：连结B1O，由解法一，知AC平面BDD1B1，BDD1B1为正方形。S=S-S-S-S=(1-2)S=V=V+VV=SAC=a2a=a3 解法三：延长D1C1到P，使C1P=D1C1，连PE，PA、PC，PB1，则PB1ACPB1平面EAC由解法一知D1D=aS=S-S-S=a2-a2-a2=a2V=V=V=SAD=a2a=a3解法四：延长B1B到Q，使BQ=B1B，则AECQ为平行四边形。由解法一知BB1=a V=V=V=SAB=aaa=a3解法五：由解法一知D1D=a，连B1D1，则V=V-V-V-V-V=(1-1-21)V=a3思维点拔解法一为公式法，解法二为分割法，解法三、四为等积变形法（解法三先平移顶点，解法四先平移底，然后变换顶点与底），解法五为补形法。例2、（1）把地球当作半径为R的球，地球上A、B两点都在北纬的纬线上，A、B两点的球面距离是，A在东经，求B点的位置。解：如图，求B点的位置即求B点的经度，设B点在东经或西经因为A、B两点的球面距离是，因而三角形AOB是等边三角形，又求出，则或所以，B点在北纬，东经或西经。小结：求球面上两点间的最短距离（球面距离）的具体步骤是：计算线段AB的长；计算A、B到球心O的张角AOB（用弧度量）；计算球大圆在A、B两点间的劣弧长。（2）半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆上，若正方体的一棱长为，求半球的半径。解：沿正方体的对角面作半球的轴截面，如图：则故半球的半径为3。小结：正方体与其内切球的问题，常用过球心且与正方体侧面平行的剖面。正方体与其外接球的问题,常用正方体的对角面与球大圆的剖面图。小结：1）组合体问题常涉及球与多面体的切、割、接等关系，解题的关键是作一个恰当地过球心的截面，使有关元素集中在包括一个大圆在内的截面图形内，从而将空间元素的关系化为平面内元素的关系。2）本例第（2）小题是一探索性问题，需给出正确结论并说明理由，解这类问题切忌盲目猜测，要严密论证或举反例说明例3（1）天津卷如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点.（）求与底面ABC所成的角；（）证明/平面；（）求经过四点的球的体积.解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，ACGPHOA1C1B1BEF故所求球的半径，球的体积高考零距离1（2005年全国卷III）设三棱柱的体积为，分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为( C ) A B C D 2（2005年江西卷）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ C ）ABCD3（04全国卷16）下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱。其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。4.（04北京卷11）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是 cm，表面积是 cm2.5（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A.2 B.3 C.6 D.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=图966（1999全国理，10）如图96，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A. B.5C.6 D. 答案：D解析1：连EB、EC.四棱锥EABCD的体积VEABCD=322=6.由于AB=2EF，EFAB，所以SEAB=2SBEFVFEBC=VCEFB=VCABE=VEABC=VEABCD=多面体EFABCD的体积VEFABCD=VEABCD+VFEBC=6+.此题也可利用VEFABCDVEABCD=6.故选D.解析2：取AB、CD边的中点M、N，将多面体分割成斜三棱柱和四棱锥，利用及棱锥体积公式,不难得到多面体体积评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力.7（1995全国，4）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A. B. C.2a2 D.3a2答案：B解析：由已知正方体的对角线是球的直径，设正方体棱长为x，球半径为R，则，于是球的表面积S4R24.答案：C解析：中截面的面积应是底面面积的，即2 cm2.8（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.20 B.25 C.50 D.200答案：C解析：长方体的对角线长等于球的直径，于是（2R）2324252，R2，则S球4R2450.评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质.9（1996全国文12，理9）将边长为a的正方体ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为（ ）A. B. C. D.答案：C解析：设圆锥的底面半径为r,圆锥母线长为1.又侧面展开图圆心角为240,240=,得1=2r，r=.得圆锥的高h=所以，V圆锥=r2h=.10（1994全国，13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ABBCCA2，则球面面积是（ ）A. B. C.4 D.答案：D解析：如图952，设过A、B、C三点的截面和球的半径分别为r、R.截面圆心、球心分别为O、O.由已知ABBCCA2，r，OOR，由R2r2OO2，得R2，解得R2，S球4r2.图952评述：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式.11（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为（ ）A.4 B.2 C.2 D. .答案：B解析：设球心为O，由题设知三棱锥OABC是正四面体，且ABC的外接圆半径是2，设球半径为R，则R2，R2.直线与平面位置关系 作业036A1（2005年全国卷）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （ C ）（A）（B）（C）（D）2（2005年全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 （ C ）（A）（B）（C）（D）3（04全国卷7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ B ） A B C D 4（04福建卷10）如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（A）arcsin（B）arccos（C）arcsin（D）arccos5（2003年江苏卷）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ C ）ABCD6（2003年天津卷）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ C ）ABCD7（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）A3B4C3D68（2000春季北京、安徽，16）如图914是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_.答案：2解析：设正四面体的边长为a，则EF，V正四面体a372a6，EF28（2003年北京卷）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . 7一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_。错解：答。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：。8(2005年高考全国卷理16文16)在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则 四边形BFDE一定是平行四边形.四边形BFDE有可能是正方形.四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形.平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）9。已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_答案：600点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用cos2450+cos2600+cos2=1得=600，构造模型问题能力弱。1