2020届四川省泸县第五中学高三上学期第一次月考数学理试题版.pdf

1 2019 2020 学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题 第第 I 卷卷 选择题选择题 共共 60 分 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题所给出的四个选项中 只 有一项是符合 题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 1 复数在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知a b均为单位向量 若 23ab 则向量a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 3 已知 n a是正项等比数列 若 1 a是 2 a 3 a的等差中项 则公比q A 2 B 1 C 0 D 1 2 4 直线l与双曲线 2 2 1 2 y x 交于A B两点 以AB为直径的圆C的方程为 22 240 xyxym 则m A 3 B 3 C 5 2 2 D 22 5 在的二项展开式中 的系数等于 A 180 B C D 180 6 设向量 若 则 A B 1 C D 7 为得到函数的图象 只需要将函数 的图象 A 向左平行移动 个单位 B 向右平行移动 个单位 C 向左平行移动个单位 D 向右平行移动个单位 8 我国古代数学著作九章算术中有如下问题 今有器中米 不知其数 前人取半 中人三分取一 后人四分取一 余米一斗五升 问 米几何 如图所示的是解决该问题的程序框图 执行该程序框图 若输出的 则输人 k 的值为 2 A 10 B 11 C 12 D 13 9 已知 则 a b c 的大小为 A B C D 10 若函数为自然对数的底数 有两个极值点 则实数 a 的取值范围是 A B C D 11 在ABC 中 角 A B C的 对 边 分 别 为a b c 若ABC 为 锐 角 三 角 形 且 满 足 sin12cos2sin coscos sinBCACAC 则下列等式成立的是 A 2ab B 2ba C 2AB D 2BA 12 在三棱锥ABCD 中 60BACBDC 二面角A BCD 的余弦值为 1 3 当三棱锥 ABCD 的体积的最大值为 6 4 时 其外接球的表面积为 A 5 B 6 C 7 D 8 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 90 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 满分 20 分 13 已知随机变量 服从正态分布 则 14 函数 在的零点个数为 15 若函数 为偶函数 则 a 16 已知 是抛物线 的焦点 是 上一点 的延长线交 轴于点 若为的中点 则 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 17 本大题满分 12 分 已知数列是等比数列 公比 前 项和为 若 3 求的通项公式 设 若恒成立 求的最小值 18 本大题满分 12 分 在四棱锥中 四边形为菱形 且 分别为棱 的中点 求证 平面 若平面 求平面与平面所成二面角的正弦值 4 19 本大题满分 12 分 某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品 测量一项质量指标值 绘制了如图所示的频率分 布直方图 计算该样本的平均值x 方差 2 s 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 根据长期生产经验 可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布 2 N 其中 近似为样本平均值 2 近似为样本方差 2 s 任取一个产品 记其质量指标值为X 若 X 则认为该产品为一等品 2X 则认为该产品为二等品 若2X 则认为该产品为不合格品 已知设备A正常状态下每天生产这种产品 1000 个 i 用样本估计总体 问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3 ii 某公司向该工厂推出以旧换新活动 补足 50 万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B 经 测试 设备B正常状态下每天生产产品 1200 个 生产的产品为一等品的概率是70 二等品的概率是 26 不合格品的概率是4 若工厂生产一个一等品可获得利润 50 元 生产一个二等品可获得利润 30 元 生产一个不合格品亏损 40 元 试为工厂做出决策 是否需要换购设备B 参考数据 0 6826PX 220 9544PX 330 9974PX 15012 2 5 20 本大题满分 12 分 已知函数 求在处的切线方程 若时 恒成立 求实数 的取值范围 3 求证 21 本大题满分 12 分 在中 其周长是 是的中点 在线段上 满足 1 求点 的轨迹 的方程 2 若 在的延长线上 过点的直线交轨迹 于两点 直线 与轨迹 交于另一点 若 求的值 6 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 直线的参数方程为 t为参数 直线的参数方程为 为参数 设与的交点为 当 变化时 的轨迹为曲线 写出的普通方程 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设 为与的交点 求的极径 23 已知函数 解不等式 若 对 使成立 求实数 取值范围 7 2019 2020 学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题答案答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 9 A 10 A 11 A 12 B 12 根据两个射影 结合球的图形 可知二面角ABCD 的平面角为AMD 根据题意可知当 ABAC BDCD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 根据体积的最大值可求得 BC的长 结合图形即 可求得球的半径 进而求得表面积 如图 设球心O在平面ABC内的射影为 1 O 在平面BCD内的射影为 2 O 则二面角ABCD 的平面角为AMD 点A在截面圆 1 O上运动 点D在截面圆 2 O上运动 由图知 当ABAC BDCD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 此时ABC 与BDC 是等边三角形 设BCa 则 3 2 AMDMa 2 3 4 BCD Sa 6 sin 3 hAMAMDa 3 126 3124 A BCDDBC VSha 解得3a 所以 3 2 DM 2 1DO 2 1 2 O M 设2AMD 则 2 1 cos22cos1 3 解得tan 2 22 2 tan 2 OOO M 球O的半径 22 22 6 2 RDOOO 所求外接球的表面积为 2 46SR 故选 B 8 13 8 14 15 16 6 17 1 由 得 解得 或 舍 所以 2 由 1 可知 因为 所以单调递增 所以 恒成立时 又因为 故的最小值为 8 18 1 证明 设的中点为 连接 分别是 的中点 且 由已知得 且 且 四边形是平行四边形 平面 平面 平面 9 2 连接 设 连接 连接 设菱形的边长为 由题设得 平面 分别以 为 轴 轴 轴的非负半轴 建立如图所示的空间直角坐标 系 由题设得 设是平面的法向量 则 化简得 令 则 同理可求得平面的一个法向量 平面与平面所成二面角的正弦值为 19 1 由频率分布直方图可得 170 0 02 180 0 09 190 0 22200 0 33210 0 24220 0 08230 0 02200 x 10 22222222 30 0 02 20 0 09 10 0 200 33 100 24200 083020 02s 150 2 i 方法一 由 1 得 2 2 175 6 224 4 xs xs 由图可得质量指标值在 165 175 和 225 235 的频率为0 02 0 02 0 04 0 03 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3 方法二 由于 2 1 22 P xPx 1 0 9544 0 0456 0 03 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3 ii 设 分别为设备A B一天为工厂创造的利润 则 1 1000 50 0 682630 0 271840 0 0456 E W 1000 34 138 154 1 824 40460 2 1200 50 0 730 0 2640 0 04 E W 1200 357 8 1 6 49440 所以采用新设备利润每天增加 21 49440404608980EWE WE W 因此 只需 56 天使用设备B产生的利润就超过使用设备A产生的利润和换购费用总和 从长远来看 应 该换购设备B 20 1 1 1 a 2 a 又 在处的切线 方程为 y 0 即 2 若时 则 在上单调递增 则在上单调递增 当 即时 则在上单调递增 此时 满足题意 若 由在上单调递增 由于 故 使得 则当 时 函数在上单调递减 不恒成立 舍去 11 综上所述 实数 的取值范围是 3 证明 由 知 当时 在上单调递增 则 即 即 21 1 设则 又 所以 A的轨迹是以 B C为焦点的椭圆 从而有 2 设 而显然直线不与 x轴重合 故设其方程为 代入椭圆方程得 22 1 消去参数t 得l1的普通方程l1 y k x 2 消去参数m 得l2的普通方程l2 y x 2 设P x y 由题设得 消去k 得x2 y2 4 y 0 所以C的普通方程为x2 y2 4 y 0 2 C的极坐标方程为 2 cos2 s