导数专题三零点问题教师版.doc

.袆 导数专题（三）零点问题蚄（2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题）羁已知函数莀（）若求在处的切线方程；芇（）求在区间上的最小值；莆（III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.羄（18）（本小题满分13分）蒀解：（I）蚈在处的切线方程为.3分螄（）由螃由及定义域为，令葿若在上，在上单调递增，聿因此,在区间的最小值为.薆若在上，单调递减；在上，单调递增，因此在区间上的最小值为蒂若在上，在上单调递减，蕿因此,在区间上的最小值为.蒀综上，当时，；当时，；羄当时，. .9分薅(III) 由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.虿当时，要使在区间上恰有两个零点，则蚇 即，此时，.蚆所以，的取值范围为.13分芄（2014西城期末理）18（本小题满分13分）（零点问题）蝿已知函数，其中是自然对数的底数，.肈（）求函数的单调区间；蚂（）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.莇18.（本小题满分13分）膃（）解：因为，蚃所以 2分膀令，得 3分肆当变化时，和的变化情况如下：膃肄袁 5分腿故的单调减区间为；单调增区间为 6分芃（）解：结论：函数有且仅有一个零点. 7分芀理由如下：艿由，得方程， 袇显然为此方程的一个实数解. 莃所以是函数的一个零点. 9分蚁当时，方程可化简为. 肁设函数，则，蚆令，得螇当变化时，和的变化情况如下：肂葿虿即的单调增区间为；单调减区间为螆所以的最小值. 11分蒃因为 ， 膁所以，蒈所以对于任意，袆因此方程无实数解袄所以当时，函数不存在零点.虿综上，函数有且仅有一个零点. 13分芇（2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）羆已知函数羁（）求函数的极小值；莁（）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围羆18. 解：（）函数的定义域为R 因为 ，肆所以 莂令，则袈0聿-膆0螃+薀螇极小值芆膃所以 当时函数有极小值 6分羈（）函数薆当时， 莆所以要使与无交点，等价于恒成立 芀令，即，蚀所以 莅当时，满足与无交点； 莆当时，蚁而，膈所以，此时不满足与无交点 莈当时，令 ， 则，蒅当时，在上单调递减；肂当时，在上单调递增；袀当时，膇由 得，薅即与无交点 蒃综上所述 当时，与无交点 13分莈（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）羆已知函数 蚅（）当时，试求在处的切线方程；羄（）当时，试求的单调区间；肀（）若在内有极值，试求的取值范围罿解：（）当时，螅方程为 4分肁（） ，螂 螈当时，对于，恒成立，袅所以 ?； ? 0.蒂所以 单调增区间为，单调减区间为 8分艿（）若在内有极值，则在内有解袇令 ? ? .芅设 ,膃所以 ,当时，恒成立，节所以单调递减.薆又因为，又当时，,莅即在上的值域为,薄所以 当时， 有解.蝿设，则 ，虿所以在单调递减.蒅因为，,螀所以在有唯一解.蒁所以有：莇0蒅0膁极小值衿所以 当时，在内有极值且唯一.膆当时，当时，恒成立，单调递增，不成立薅综上，的取值范围为 14分薂（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）薁已知函数. 腿（）求函数的单调区间；蚅（）若（其中），求的取值范围，并说明.羃（18）（共13分）聿解：（）. 2分羈（）当时，则函数的单调递减区间是.螄 3分莄（）当时，令，得.螁 当变化时，,的变化情况如下表螇袄极小值蒁艿所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 5分蒆（）由（）知：羄当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意. 6分袂当时，因为 在内是减函数，在内是增函数，所以 要使，必须，即.羁所以 . 7分蕿当时，.肄令，则.芃当时，所以，在上是增函数.莈所以 当时，.芈所以 . 9分肄因为 ，蚄所以 在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为. 11分膀因为 在内是减函数，在内是增函数，肆所以 .膄综上所述，的取值范围是. 12分肄因为 ，袂所以 . 13分莃（2015海淀上学期期末）（19）（本小题满分13分）（零点、三角函数）薈已知函数，. 蒅（）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；薄（）求集合中元素的个数；（）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）（19）（共13分）解：（）函数是偶函数，证明如下： 1分 对于，则. 2分 因为 ， 所以 是偶函数. 4分（）当时，因为 ，恒成立，所以 集合中元素的个数为0. 5分当时，令，由，得 .所以 集合中元素的个数为1. 6分当时，因为 ，所以 函数是上的增函数. 8分因为