密度矩阵相关计算

高等量子力学 第二章 第二章量子力学的理论构架 2 1表象理论 2 2二次量子化 2 3密度矩阵 2 4路径积分与格林函数 2 3密度矩阵 算符 1 纯态与混合态迄今为止 研究的对象基本上是一个粒子 它的状态总是用希尔伯特空间的一个态矢量来表示 这些态矢量满足叠加原理 把这些状态称之为纯态 例如 1 其中 为纯态 也是纯态 总之 凡是能用希尔伯特空间的一个矢量描述的状态都是纯态 在一个纯态之上 力学量F的取值是以概率的形式表现的 这就意味着 对单个粒子的预言是与大量粒子构成的系综的统计平均相联系的 或者说 量子力学具有统计的性质 从统计规律性的角度看 由纯态所描述的统计系综称为纯粹系综 例如 在Stern Gerlach实验中 当原子束通过磁场后 每个原子的自旋都指向同一个方向 即束流的完全被极化的 此时 可以把体系理解为纯粹系综 以上纯态和本征态的定义是不一样的 本征态一定是纯态 但纯态一般不是本征态 而是多个本征态的线性组合 Stern Gerlach实验证明电子有自旋角动量的实验 使电中性银原子在电炉内蒸发射出 通过狭缝S1 S2形成细束 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域 磁场垂直于射束方向 最后到达照相底片上 显像后的底片上出现了两条黑斑 表示银原子经过不均匀磁场区域时分成了两束 当时测得银 铜 金和碱金属的原子磁矩分量的大小都等于一个玻尔磁子 它们的原子束都只分裂为对称的两束 斯特恩 革拉赫实验说明 原子磁矩取值和自旋磁矩取值无法同时确定 这句话是怎么得来的 实际上 有时候会遇到更为复杂的情况 假设许多原子刚从一个热炉子中蒸发出来 它们的自旋取向是无规律的 如何描述这种非极化的束流呢 为了使问题更具有普遍意义 上述问题可概括为 当体系以的概率 或权重 处于状态 以的概率处于状态 以的概率处于状态时 称其中的每一个为参与态 这样的状态是无法用希尔伯特空间的一个态矢量来描述的 而需要用一组态矢量及其相应的概率来描述 则称之为混合态 相应的统计系综为混合系综 为了说明纯态和混合态的区别 让我们来考察力学量F在两种状态上的取值概率 设算符满足 2 在纯态 1 上 取fi值的概率为 投影获得系数 概率为系数平方 3 而在混合态上 根据混合态的定义可知 取fi值的概率为 4 显然 上面两式完全不同 若再具体到坐标表象 坐标为自变量 则 1 式为 5 在纯态 5 上 坐标取x0值的概率密度为 6 而在混合态上 坐标取x0值的概率密度为 7 由上述两式可以看出 在纯态下 两个态之间发生干涉 而在混合态下 无干涉现象发生 前者为概率幅的叠加 称为相干叠加 叠加的结果形成一个新的状态 后者为概率的叠加 称为不相干叠加 2 密度算符的定义 为了能够统一地描述纯粹系综和混合系综 1927年Neumann给出密度算符的演算方法 1 纯态下的密度算符的定义首先 在纯态之下引入密度算符 设是希尔伯特空间中的任意一个归一化的态矢 纯态 F为一个可观测的物理量 对应的本征值和本征矢分别为fi与 算符在状态上的平均值为 8 选任意一组正交归一完备基底 于是有 9 选任意一组正交归一完备基底 于是有 9 注意 9 式中含有西格玛 n的变化范围假设为1到N 表示完备基底是N维的 假设正交归一完备基由N个独立的正交归一函数 矢量 组成 则表示一个N行N列的单位矩阵 左侧表示列矢 右侧表示行矢量 左侧表示行矢 右侧表示列矢 波函数本身是一个叠加态矢量 可以被任意一个完备的空间基底展开 也可以被一个N维的空间基底展开 上式 9 表示原式左侧和右侧矢量分别被N维空间的完备基矢量展开 选任意一组正交归一完备基底 于是有 注意 在一个1 n和一个n 1两个矢量间插入一个单位n n的矩阵 结果不变 9 说明 若引入纯态之下的密度算符 此算符为方阵 方阵对角元为构成纯态的任意子态出现的概率 对角元加和为1 若右侧左右两矢量交换位置 则显然也等于1 即为密度为1 而非密度算符 相当于做西格玛和求阵迹 10 则 9 式可以写为 11 上式说明算符在一个归一化的纯态上的平均值等于该算符与密度算符之积的阵迹 显然 密度算符是一个投影算符 力学量F在状态上的取值fi概率 12 它是密度算符在算符的第i个本征态上的平均值 总之 利用状态定义的密度算符可以给出任意力学量F在该状态上取值概率与平均值 因此 纯态下的密度算符是可以代替态矢来描述纯态的一个算符 2 混合态下的密度算符的定义对于前面定义的混合态而言 一个物理量F的平均值要通过两次求平均来实现 首先 进行量子力学平均 即求出力学量F在每个参与态上的平均值 然后 在对其进行统计平均 即求出以各自概率出现的量子力学平均的平均 称为加权平均 用公式表示为 13 类似纯态的做法 得到 14 若定义混合态下的密度算符 备注 矩阵乘以常数 则每个矩阵元都乘以常数 15 则 14 式可以写成 16 力学量F的取值概率为 17 上述两式与纯态有同样的形式 只不过两种的密度算符的定义不同而己 至此 我们找到了一个密度算符 它可以代替波函数来描述纯态与混合态 由于密度算符是在希尔伯特空间中定义的算符 它比混合态的原始定义要方便多了 类似于其它算符 密度算符在具体表象中的表示称为密度矩阵 3 密度算符的性质 设力学量算符满足 18 当本征值无简并时 则构成正交归一完备系 而当本征值简并时 本征矢未必正交 但可以要求它是归一和完备的 性质1对于密度算符 有 对于纯态 对于混合态 证明 选取一组正交归一完备基 对于纯态 有 下式是求阵迹的常用方法 用正交归一完备基对应的左矢与右矢作用于方阵两边求西格玛 19 而 20 于是 21 对混合态而言 22 而 23 其中 24 由于 只有当时 上式中等号才成立 而此时体系处于纯态 所以 对混合态而言 有 25 性质2密度算符是厄米算符 若混合态是由一系列相互正交的态构成的 则密度算符的本征矢就是参与混合的那些态 相应的本征值就是权重 即 26 证明 27 笔误 27 中最后一个j应矫正为i 4 约化密度算符在处理实际问题时 有时会遇到这样的情况 对于一个大的量子体系而言 我们感兴趣的物理量只与体系的一部分有关 例如 在粒子1与粒子2构成的体系中 只需要求出粒子1的某力学量F 1 的平均值 这时 问题可以进一步得到简化 设粒子1和粒子2的基矢分别为与 则两粒子体系的态矢的一般形式为 28 为了保证是归一化的态矢 要求展开系数满足 29 若为纯态时 体系的密度算符为 30 如果求粒子1的某力学量F 1 的平均值 由 11 式可知 31 第三个等号后插入了一个单位矩阵 第四个等号后利用了上式 两粒子态函数可以重新排序 并矢 如果求粒子1的某力学量F 1 的平均值 由 11 式可知 31 第三个等号后插入了关于第一个粒子的单位矩阵 第四个等号成立是因为常数项可以移动 不插入粒子1的单位阵不可以移动 因为算符F要作用于第一个粒子 第五个等号后的n表示第二个粒子的函数序号 上页比较难理解 现将上页PPT修改为如下 令 32 其中 表示只对粒子2取迹 取迹之后的仍为粒子1空间中的算符 称之为粒子1的约化密度算符 于是 F 1 的平均值可写为 33 最后一个等号成立是因为去除了前边的关于第一个粒子的单位矩阵 此时后边的m表示第一个粒子的波 所以可以直接去除这个单位矩阵 上式可修改如下 5 应用举例 例1自旋为的粒子 分别处于如下的纯态与混合态上 纯态为 混合态为 34 35 利用密度算符方法在此两种状态上分别计算的平均值 解 对于纯态而言 在sz表象中 其矩阵形式为 36 相应的密度矩阵为 37 利用公式 11 可以求出自旋个分量的平均值为 38 39 利用公式 12 可以计算自旋各分量算符的取各本征值的概率为 40 41 42 下式表明 由上述取值概率求出的平均值与由 11 式的计算结果完全一致 问题 为什么 11 1 1 答 这两个矢量是矩阵的归一化本征矢量 其本征值分别为1和 1 此矩阵有且仅有2个归一化本征矢量 45 44 43 46 对于混合态而言 根据密度算符的定义 47 密度矩阵可写为 问题 如何得知自旋向上矢量为 10 和自旋向下矢量为 01 的呢 答 二者并矢组成一个单位矩阵 说明二者正交 同时发现二者归一 两个自旋矢量符合正交归一 48 用类似于纯态的计算手段 得到自旋各分量的平均值为 49 38 39 解析以下三个自旋算法和Pauli矩阵关系 验证以上三个矩阵满足反对易关系 试求出以上三个矩阵的本征矢量表达式验证以下关系式 例2关于混合态中的参与态的正交化问题 以如下的混合态为例 50 找出与其等价的正交的混合态 解 首先 求出该混合态的密度矩阵 51 52 其次 求解密度矩阵满足的本征方程 结合矢量归一化条件求出a b p 已验证 结果无误 它的本征解为 同时进行矢量归一化 53 此混合态亦为密度矩阵的本征态 由于它与给定的混合态对应同一个密度矩阵 故它与给定的混合态是相同的 区别在于后者的参与态已经正交化 相应的权重也发生了变化 已经依据 51 式思路计算 53 式密度矩阵 发现果然等于 51 式结果 另外 容易验证新获得的两个矢量内积为0 即为正交 例3关于约化密度矩阵问题的例题 设由粒子1 电子 与粒子2 质子 构成的双粒子体系 在其自旋空间中 非偶合表象下的二体基矢为 54 在如下纯态下 55 求电子自旋的平均值 解 密度算符为 5