【优化方案】高中数学 第3章4.3 简单线性规划的应用课件 北师大版必修5.ppt

4 3简单线性规划的应用 学习目标 掌握线性规划问题的图解法 能应用线性规划的方法解决一些实际问题 提高学生解决实际问题的能力 课堂互动讲练 知能优化训练 4 3简单线性规划的应用 课前自主学案 课前自主学案 线性规划中的基本概念 线性约束条件的解 x y 可行解 最大值 最小值 1 线性约束条件包括两点 一是 二是 2 目标函数与线性目标函数的概念不同 线性目标函数在 作了严格的限定 一次解析式 即目标函数包括 和 3 可行解必须使约束条件成立 而 是所有的可行解构成的一个区域 变量x y的不等式 或等式 次数为1 变量x y的次数上 线性目标函数 非线性目标函数 可行域 怎样从已知条件中列出线性约束条件 提示 要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的 要解决这个难点关键是通过列表的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理 课堂互动讲练 解线性规划应用题时 先转化为简单的线性规划问题 再按如下步骤完成 1 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l 2 平移 将l平行移动 以确定最优解的对应点a的位置 3 求值 解有关方程组求出a点坐标 即最优解 代入目标函数 即可求出最值 某公司计划2011年在甲 乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告 广告总费用不超过9万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和200元 分钟 已知甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0 3万元和0 2万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最大收益是多少万元 思路点拨 先设出分配给两个电视台的广告时间 再根据时间限制条件列出约束条件 建立目标函数求解 名师点评 即使是简单的线性规划问题 常常题中的条件也较多 因此 在解题前应切实做到认真 细致地审清题目 将所有的约束条件列出来 尤其是约束条件中有没有等号 另外 还应弄清约束条件与目标函数的区别 不能混为一谈 约束条件一般是不等式 而目标函数是一个等式 解决实际问题中的线性规划问题 要根据实际问题列出不等式组 根据不等式组画出平面区域 再找出实际要求中的目标函数 然后求出目标函数的最值 解答与最小值有关的实际问题与解决与最大值有关的实际问题的步骤相同 这类问题的条件往往较多 可借助表格或图形梳理题目中的条件 最后要检验能否取等号 以及其他范围的限制 2010年高考广东卷 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c 1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c 如果1个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 思路点拨 根据题意列出线性约束条件 正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域 利用线性规划解决问题 作出可行域如图 则z在可行域的四个顶点a 9 0 b 4 3 c 2 5 d 0 8 处的值分别是za 2 5 9 4 0 22 5 zb 2 5 4 4 3 22 zc 2 5 2 4 5 25 zd 2 5 0 4 8 32 zb最小 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在b 4 3 处取得最小值 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 名师点评 应注意x y都是整数 自我挑战1 2009年高考湖北卷 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 a 2000元b 2200元c 2400元d 2800元 解析 设需甲型货车x辆 乙型货车y辆 由题意知 答案 b 对于线性规划中的最优整数解的问题 当解方程组得到的解不是整数解时 可用下面的方法求解 1 平移直线法 先在可行域内打网格 再描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解 2 检验优值法 当可行域内整点个数较少时 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值 经比较得最优解 3 调整优值法 先求非整点最优解及最优值 再借助不定方程的知识调整最优值 最后筛选出整点最优解 要将两种大小不同的钢板截成a b c三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 今需要a b c三种规格的成品分别为15 18 27块 问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品 且使所用钢板张数最少 思路点拨 先转化为线性规划问题 再利用解线性规划问题的知识求解 注意钢板张数为整数 法二 特值验证法由法一知 目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方 依次满足条件的整点a0 0 15 a1 1 13 a2 2 11 a3 3 9 a4 4 8 a5 5 8 a6 6 7 a7 7 7 a8 8 7 a9 9 6 a10 10 6 a27 27 0 将这些点的坐标分别代入z x y 求出各个对应值 经验证可知 在整点a3 3 9 和a4 4 8 处z取得最小值 其解法的思路是找整点 验证算 选优解 故本例有两种截法 第一种截法是截第一种钢板3张 第二种钢板9张 第二种截法是截第一种钢板4张 第二种钢板8张 两种方法最少要截两种钢板共12张 名师点评 解线性规划应用题的关键和难点是从实际问题中抽象出不等式组 在此基础上再作出可行域 利用图像求最优解 自我挑战2某运输公司有7辆载重量为6吨的a型卡车与4辆载重量为10吨的b型卡车 有9名驾驶员 在建筑某高速公路中 该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务 已知每辆卡车每天往返的次数 a型卡车为8次 b型卡车为6次 每辆卡车每天往返的成本费用情况 a型卡车160元 b型卡车252元 试问 a型卡车与b型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低 解 设每天出动的a型卡车数为x 则0 x 7 每天出动的b型卡车数为y 则0 y 4 因为每天出车的驾驶员最多9名 则x y 9 每天要完成的搬运任务为48x 60y 360 每天公司所花成本费用为z 160 x 252y 结合图形可知 在四边形区域上 横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有p1 3 4 p2 4 4 p3 4 3 p4 5 2 p5 5 3 d 5 4 p6 6 2 p7 6 3 p8 7 1 c 7 2 10个点 作直线l 160 x 252y 0 把l向上方作平行移动 可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是p4 5 2 所以在点p4 5 2 上 得到的z的值最小 zmin 160 5 252 2 1304 即当公司每天出动a型卡车5辆 b型卡车2辆时 公司的成本费用最低 1 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用其完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能用最少的人力 物力 资金等资源来完成这项任务 在生产和生活中 常用于 下料问题 优化安排活动问题 优化运营问题等 2