关于向量的几何证明

关于向量的几何证明关于向量的几何证明 周翔周翔 例 1 用向量证明三角公式 cos coscossinsin 证明 如图 3 作一个单位圆 取平面上的两个单位向量使它们与 x 轴上的b a 单位向量 形成 角 即 i bOBaOA cos cos baba sin cos sin cos ba又 sinsincoscos ba sinsincoscos cos 图 3 评析 该公式在教材中采用构造法证明 先构造一个单位圆 再在单位圆上构 造四点 形成两个全等三角形 利用两点间的距离公式证得 这种方法在构造图形 上要求太高 很难与我们学过的知识相联系起来 当我们学过平面向量后 可以简 洁地将此公式证明 同法 我们可以证明 例 2 1 coscoscos cos 2 证明 设三个单位向量 sin cos sin cos sin cos cba cos sinsincoscos ba cos sinsincoscos ca cos cos caba cbacaba 又 0 cos2 cb coscos2 cba 综上所述 可得 1 coscoscos cos 2 例例 3 向量方法证明三角形中的射影定理 向量方法证明三角形中的射影定理 在 ABC 中 设三内角 A B C 的对边分别是 a b c AC CB AB ACACCBAB AC 2 ACAC CBAB AC 2 cos cosACACCBCABACA cos cosACCBCABA b acosC ccosA 即 b ccosA acosC 类似地有 c acosB bcosA a bcosC ccosB 上述三式称为三角形中的射影定理 例例 4 4 用向量法证明三角形面积的海伦公式 用向量法证明三角形面积的海伦公式 三角形面积的海伦公式 式中为三条边的 Sp papbpc cba 边长 为三角形的面积 2 1 cbap S 证明 证明 在三角形中 设 ABCBCa CAb ABc aa bb cc 因为 的面积为 ABC 1 sin 2 SabC 所以 2222222 11 sin 1 cos 44 SabCabC 22222 11 cos 44 ababC 1 222 1 4 aba b 因为 所以 所以 0 cbacba 22 cba 所以 2 2 1 222 bacba 将 2 式代入 1 式 并化简得 22 22 22 2 16 1 16 1 16 1 2 2 16 1 4 1 4 1 2222 2222222222222 apbpcpp bacbaccbacbabaccba bacabbacabbacbaS 化简即得 2 cpbpappS 所以 Sp papbpc 例例 5 5 用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图 在直角坐标系中 已知 以线段 12 OAaa a 12 OBbb b OA OB 为邻边作平行四边形 OACB 那么平行四边形的面积 1 22 1 Saba b 三角形 OAB 的面积 1 22 1 1 2 OAB Saba b 证明 设 那么可以得出 a b 由于 sin OACB Sa b cos a b a b 所以 222 sin1 cos1 a b a b 222222 1 12212211 1221 22 1 222222222222 121212121212 2 1 aba ba ba baba baba b aabbaabbaabb 所以 1 22 1 2222