各地模拟题精选解析之函数与导数

2007年各地模拟题精选解析之函数与导数1（西安地区八校联考）设函数. （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的不等式| f（x）|a恒成立，求a的取值范围.解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0a2a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于又（12分）2山西省太原市（本小题满分12分）如果在某个区间I内满足：对任意的，则称在I上为下凸函数；已知函数 （）证明：当时，在上为下凸函数； （）若为的导函数，且时，求实数a的取值范围.解（）任取则2分3分又4分又5分即.6分上的下凸函数. （），8分10分恒成立.12分3山西省太原市（本上题满分12分）设，函数为自然对数的底数）. （）判断的单调性； （）若上恒成立，求a的取值范围.解（）由已知2分令当在R上为减函数.当在R上为减函数.4分当时，由得由得上为增函数；上为减函数.6分 （）当上为减函数.10分当在1，2上不恒成立，a的取值范围是12分4山东省滋博市（本小题满分12分）设是函数的两个极值点，且 （）求a的取值范围； （）求证：.解证：（I）易得1分的两个极值点的两个实根，又a03分7分（）设则由上单调递增10分12分5山东省济宁市（本小题满分12分） 已知函数 （）若，求的极大值； （）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：（）定义域为 2分令 由由 4分即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 6分 （）的定义域为(0+) 由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+)内恒成立 8分令，则 由当时为增函数当时 为减函数 10分当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 12分6（江西省师大附中）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，满足：y2f /(1)ln(x1)0.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1，1及b1，1都恒成立，求实数m的取值范围解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则得m3或m312分7济南市(本小题满分12分)已知函数与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间解：(1)过点a=-8, 2分切线的斜率3分 的图像过点4b+2c=0, ,解得：b=8,c=-164分 5分切线方程为即16x-y-32=06分(2) 8分 当m0时，m1 当时 当时 F(x)的单调减区间是 F(x)的单调增区间是(1，)11分 即m5+ln2 x=0时 f(x)在0，3上最小值f(x)=5+ln2. （II）令0得b2x，在0，m上恒成立而 y=2x在0，m上单调递增，最大值为2m b2m 令0 得b2x，而 y=2x在0，m单增，最小为y=b故b2m 或b时f(x)在0，m上单调.10. 东北三校( 本小题满分12分)已知函数f(x)=axx (a1) (1) 求函数f(x)的最小值, 并求最小值小于0时a的取值范围.(2)令S(n)=Cn1f (1)Cn2f (2) Cnn1f (n1),证明: S(n)(2n2)f ()解：(1) 由f (x)=axlna1 f (x)0 即: axlna1, ax , 又a1, xlogalna同理: f (x) 0, 有xlogalna 所以f (x)在(, logalna)上递减, 在(logalna, )上递增, 所以f(x)max=f(logalna) = , 若f(x)max0, 即 0, 则ln(lna)1, lna a 的取值范围是 1a (2) S(n)=Cn1(alna1)Cn2(a2lna1) Cnn1(an1lna1), = (Cn1aCn2a2Cnn1an1)lna(Cn1Cn2Cnn1) = Cn1(aan1)Cn2(a2an2)Cnn1(an1a)lna(2n2) = 不等式成立.11、(襄樊市)已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求证：x(1)解：函数f (x)的定义域为(1，+)2分由 得：，x0f (x)的单调递减区间为(0，+)4分(2)证明：由(1)得x(1，0)时，当x(0，+)时，且x1时，f (x)f (0)，0，x8分 令，则10分1x0时，x0时，且x1时，g (x)g (0)，即012分，x1时，x13分12（安徽省合肥市高三年级第一次模拟考试）（本小题满分12分）已知 （1）求f(x)的值域； （2）若f(x)a23对于任意x恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）f(x)=1,令f(x)=0，得x=1，fmax(x)=a1.3分 值域是（，a1 6分 （2）f(x)a23恒成立fmax(x)0，a2或a1时，m 1，由得x 1时，在（1，2），（2，+）上单增；在（m，1）单减.14分16山东省泰安市（本小题满分12分）已知函数的一个零点，又在x=0处有极值，在区间（6，4）和（2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反. （I）求c的值； （II）求的取值范围； （III）当成立的实数a的取值范围.解：（I）又f（x）在x=0处有极值 2分（II）由（I）知：3分又f（x）在区间（6，4）和（2，0）上单调且单调性相反.6分 （III）的一个零点7分从而8分列表讨论如下：x3（3，2）2（2，0）0（0，2）2a 0a 0a 0a 0a 0时，若3x2，则4 af（x）16 a当a 0时，若3x2，则16 af（x）4 a从而即11分存在实数，满足题目要求.12分17广东省韶关市(本题满分14分)已知函数f(x)=()当时, 求的最大值;() 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.解：()当-2时，由=0得x1= .3分显然-1x1,x22，又=当xx2时，0，单调递增；当x2x2时，0，单调递减，.5分max=(x2)=-.7分()答: 存在符合条件.8分解: 因为=不妨设任意不同两点，其中则11分由 知: 1+112分 又 故故存在符合条件.14分解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在故存在符合条件18深圳市高三年级第一次调研考试（本小题满分13分）已知函数和的图象在处的切线互相平行.()求的