北京西城区第一学期高三级期末抽样测试数学文

西城区抽样测试高三数学（文科） 2008.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合，那么集合等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量a =，向量b =，且a(ab)，则实数等于（ ）A. B. C. 0 D. 3. 已知，且，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 4. 设函数 若是奇函数，则的值是（ ）A. B. C. D. 45. 平面平面的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线 B. 存在一个平面 C. 存在一个平面 D. 存在一条直线6. 若直线：与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.7. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（ ）A. 6种 B. 10种 C. 20种 D. 30种8. 对于任意实数，定义 设函数，则函数的最大值是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9. 椭圆的离心率是_ .10. 已知的展开式中共有5项，则_，展开式中的常数项为_（用数字作答）.11. 已知数列的前项和，其中那么_ .12. 在中，已知，则_ .13. 已知点的坐标满足条件点为坐标原点，那么的最大值等于_，最小值等于_ .14. 已知点，. 设于，那么有，其中_ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15.（本小题满分12分）已知函数 () 的最小正周期是.（）求的值；（）若，且，求的值.16.（本小题满分13分）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列.（）求的值；（）若，求及的表达式.17.（本小题满分13分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中， ，点是的中点.（）求证：； （）求证：；（）求直线和平面所成角的大小. 19.（本小题满分14分）已知函数.（）解不等式；（）设，求在上的最大值.20.（本小题满分14分）设点，动圆经过点且和直线相切 .记动圆的圆心的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点作互相垂直的直线，分别交曲线于和. 求四边形面积的最小值 .西城区抽样测试高三数学（文科）参考答案 2008.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. D 2. D 3. C 4. A 5. D 6. C 7. B 8. B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 11. 12. 13. ； 14. 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（）解： . 3分， 的最小正周期是.依题意得， .6分（）解：由（）得依题意得， 因为 所以， 所以解得 . 12分16.（本小题满分13分）（）解：设等差数列的公差是.成等比数列， ， . 2分即 ，化简得 ， 注意到， . . 5分 . 7分（）解：， ， . 9分. . 11分 . 13分17.（本小题满分13分）（）解：记 “甲投球1次命中”为事件，“乙投球1次命中”为事件.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是. . 7分（）解： 事件“两人各投球2次均不命中”的概率为， . 10分 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为 . 13分18.（本小题满分14分）解法一：（）证明：是直三棱柱， 平面 ， 点是的中点， . . 4分（）证明：连结，设与的交点为，连结. 是的中点，是的中点， . 7分 . 9分（）解：由（）知 ， ， 且， 直线和平面所成的角就是和所成的角，即是直线和平面所成的角. . 12分在中， 直线和平面所成角的大小是. . 14分解法二： 在直三棱柱中， ，两两垂直 .如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . 设.则（）证明： 又 . . 4分（）证明：设与的交点为，则 . 7分 . 9分（）解：由（）知 ， ， 且， 直线和平面所成的角就是和所成的角，即是直线和平面所成的角. . 12分 直线和平面所成角的大小是. . 14分19.（本小题满分14分）（）解： 不等式的解集为 . 5分（）解： 的单调递增区间是；单调递减区间是. .8分（1）当时，是上的增函数，此时在上的最大值是； . 11分（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，此时在上的最大值是. . 14分20.（本小题满分14分）（）解：过点作垂直直线于点依题意得，所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线， . 4分即曲线的方程是 . 5分（）