小学数学中的“奇思妙想”.doc

用代数方法构建小学数学的“奇思妙想” 蒋晓云桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001研究代数方法和算术方法之间的联系对于提高小学教师的专业水平，有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行指导都有十分重要的。从方法论的角度来讲，代数的有关知识和方法对理解和解决一些算术问题会起到导向作用。如用方程组求解“鸡兔同笼”问题，可以诱导出求算术方法。“鸡兔同笼”是我国古代名题之一。孙子算经中记载了这样一个问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？孙子算经中是这样解答这个问题的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）。显然，鸡的只数就是351223（只）了。 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种“奇思妙想”不是一般小学生，甚至小学数学教师能想到的，要有相当的造化才行。如果我们用点代数知识，依靠方程思想和方法去解决这个问题：设鸡的只数为x,兔的只数为y,依题意有： 解法1：2-得：y=(942-35)=12（只）代入得x=35-12=23(只)通过代数方法，我们从解法1可看出孙子算经中的巧妙解法的奥妙所在。我们还可以采用如下与孙子算经中的“奇思妙想”等价的“人性化”说法：思路一：设想鸡和兔子都受过训练，主人一声令下，所有的鸡都“ 金鸡独立”，而所有的兔子则都用两条后腿站立起来，解法2：-2得：2y=(94-352)，从而y=(94-352)2=12（只）代入得x=35-12=23(只)解法3：4-得：2x=(354-94)，从而y=(354-94)2=23（只）代入得x=35-23=12(只)解法2和解法3可诱导出对应的两种形象化的思考方法思路二：设想兔子都是受过训练的聪明动物，主人一声令下，所有的兔子都用两条后腿站立起来，此时：（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了头的总数的2倍；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数少2。因此，兔子的只数等于94-352的一半，即(94-352)23512（只）。显然，鸡的只数就是351223（只）了。思路三：鸡的翅膀是由四足爬行动物的前肢进化而来，如果把鸡的翅膀也看成是“足”，则例1：小明买了3本英语作业本和5本写字本，共付3元；小王小明买了2本英语作业本和7本写字本；共付了3.1元。问每本英语作业本和每本写字本各多少元？解：设每本英语作业本为x元，每本写字本为y元,依题意有： 3-2得：11y=(3.13-32)=3.3 从而y=0.3（元）代入得3x+50.3=3 解得：x=0.5(元)。算术思路：我们创造条件，使其中一种数量相同，假设小明又帮同学买了1份相同的作业本，即共6本英语作业本和10本写字本，共付32=6元，小王也帮另外两同学买了与自己相同的作业本，即6本英语作业本和21本写字本；共付了3.13=9.3元。所以，11本写字本共花了9.3-6=3.3（元）从而可得到每本写字本0.3元。例2 如图1木工沿着正方形木板的一边锯下宽为1/2米的一条，剩下部分的面积是65/18平方米，求锯掉部分木板的面积。解：设正方形木板的边长为x米，则正方形的面积为x2平方米，锯下的长方形面积为x/2平方米，依题意得到方程： 解方程得：或(不合题意，舍去)。图1锯去的面积为。可是在小学范围内没有学过一元二次方程，我们注意到方程可以变形为： 即 恰好是剩余的长方形的长和宽，就是一个正方形面积，而是4个剩余的长方形面积，是边长为的正方形面积。形象化的思考方法：我们将四块剩余的长方形和一个小正方形拼在一起得到图2的大正方形，大正方形的面积是图2，所以，大正方形的边长是。大正方形边长为阴影部分的（长+宽），长=宽+1/2，所以阴影部分的长=,锯去的面积为。此题算术解法的“奇思妙想”给人以美的享受。例3：今有女不善织，日减功，迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织毕，问织几何？解：这是一个等差数列求和问题，等差数列求和公式。即该女共织为等差数列代数学中推导等差数列求和公式的过程是这样的： +得：。从得到等差数列求和公式：算术“奇思妙想”：假设该女有个妹妹，妹妹善织，每天织布都比前一天多一点，而且姐姐少织多少，她就多织多少。如果她第一天织一尺，最后一天织五尺，也刚好三十天织完，那么，她所织的布总数就与姐姐一样。现在把姐妹两人所织的布加起来：姐姐所织5+1 (每天比头天少织同样多) 妹妹所织1+5 （每天比头天多织同样多） 两人所织6+6 （姐少织多少妹就多织多少） 可知两人共织布：630180尺；又姐妹两人所织布数相同，所以，姐姐只织布：180290尺。例4.6.7（古埃及草片文书）把10斗大麦依次分给10个人，使每相邻两个人所得的大麦都相差1/8斗，应该怎样分？解：这也是一个等差数列问题。已知数列和，公差d，求数列各项又由于 其中，所以 ，从而:数列各项为：由题意知，于是，这10个人依次分得：，即7/16，9/16，11/16,25/16斗。小学数学解法：假设第个人没有分到大麦，第2个人分到大麦1/8斗，第3个人分到大麦2/8斗。则10个人依次分得：0, 1/8, 2/8, , 9/8斗，按这种分法，则共分大麦45/8斗；然后，与实际情形比较，少分大麦35/8斗；再将所剩35/8斗大麦平均分给这10个人，每人再分7/16斗，于是，这10个人依次分得7/16，9/16，11/16,25/16斗。由此可见，对某些小学数学难以解决的问题，如果先用代数方法加以解决，便可从中受到启示而寻找一种技巧性的算术解法，从思想方法上，运用这样的“高”观点，将会使我们在小学算术问题解决上思路大为开阔，方法更加灵活有效，从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。作者简介：蒋晓云，1963，男，广西桂林人，桂