2019-2020学年信阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省信阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】按照并集、补集定义，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2下列函数为同一函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】逐项判断每组函数的对应法则与定义域是否都一样，即可求解.【详解】A.的定义域为，的定义城为，故A错误；B.的定义域为，的定义域为，故B错误；C.，对应法则不同，故C错误；D.的定义域为，的定义域为，且.故选D.【点睛】本题考查两个函数是否相等，不仅要判断对应法则是否相同，还要判断定义域是否一样，属于基础题.3方程的根所在的区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，方程的根就是函数的零点，因为是单调递增函数，且，所以函数的零点所在区间是，因此方程的根所在区间是，故选B.4如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )ABCD【答案】A【解析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题5过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ )ABCD【答案】A【解析】两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.【详解】由得两条直线交点坐标为：又所求直线与垂直 直线斜率为：所求直线为：，即：本题正确选项：【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.6已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】由于时，所以，解得.7函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.【详解】，偶函数，排除；当时， ，排除 故选：【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.8定义：符合的称为的一阶不动点，符合的称为的二阶不动点设函数若函数没有一阶不动点，则函数二阶不动点的个数为 （ ）A四个B两个C一个D零个【答案】D【解析】试题分析：开口向上，且它没有不动点，即也没有二阶不动点【考点】函数的性质9已知某四棱锥的三视图如图所示，三角形的直角边和正方形的边长都为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据三视图的特征，在正方体中确定出满足条件的直观图，其外接球即为正方体的外接球，即可求解.【详解】由题意可知，可以在正方体中考虑这个问题如图，四棱锥即为所描述的四棱锥，故该四棱锥的外接球即为正方体的外接球.，故该四棱锥外接球的表面积为.故选:A.【点睛】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方法，使得作图更直观，考查空间想象能力，属于中档题.10已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】做出函数的图像，不妨设，由图像可得，根据对数的运算法则可得，且，利用对勾函数的单调性，即可求解.【详解】的图象如图，不妨设，由图象的对称性可知；又，故，；，.故选:C.【点睛】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题.11已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据已知用相关点法，求出中点的轨迹方程，又有点在圆上，可得点轨迹与圆有公共点，求出的范围.【详解】设，的中点，由已知有解得，即的中点的轨迹为圆，又线段的中点也在圆上，两圆有公共点，解得.故选:B.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题.12已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（ ）A或BCD或【答案】C【解析】如图，设切点分别为A，B连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即，故选C点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小二、填空题13函数的定义域为_.【答案】【解析】根据函数的限制条件，列出不等式，即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.14函数是定义在R上的奇函数,当时,则当时,_.【答案】【解析】设时，则，再化简即得解.【详解】设时，则，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15德国数学家黎曼1859年向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文井提出了一个命题，也就是至今未被证明的著名的黎曼猜想.著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_.（，计算结果取整数）【答案】145【解析】求出时，求出的值，即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题以数学文化为背景，考查对数换底公式求值，属于基础题.16已知直角，分别是的中点，将沿直线翻折至，形成四棱锥.则在翻折过程中，；平面平面.不可能成立的结论是_.【答案】【解析】，在中求解，根据条件可证平面，进而有，根据边的关系，可得出，不成立；，判断不成立；当时，可得出，可能成立；作出平面与平面的交线，进而求出二面角的平面角，并判断平面角不为直角，所以不成立.【详解】如图所示：易知，平面，平面，不成立；由，与所成角为，不成立；当时，可得平面，即可能成立；平面和平面交于点，由线面平行性质定理可知两个平面的交线，就是两个平面所成的平面角，又，为锐角，不成立.综上所述，不成立的有.故答案为:.【点睛】本题以平面图形翻折为背景，考查空间角的大小关系、线面垂直、面面垂直的判断，要注意翻折前后的不变量，垂直间的相互转化，属于较难题.三、解答题17已知，.（1）计算；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）化简集合，按照交并集的定义，结合数轴，即可求解；（2）对集合是否为分类讨论，再结合已知，确定集合端点位置，即可求解.【详解】（1），.（2）若，显然合乎题意；若，则，要，则；故的取值范围是.【点睛】本题考查集合间的运算，考查集合关系求参数，要注意空集的性质，属于基础题.18（）求过点A（2，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程；（）求过点A（2，6）且被圆C：（x3）2+（y4）24截得的弦长为的直线l的方程【答案】（）3xy0或x+y80；（）x2或3x+4y300【解析】（I）分成直线过原点和不过原点两种情况，求得过且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.（II）先根据弦长求得圆心到直线的距离.分成直线斜率不存在和存在两种情况，求得直线的方程.【详解】（I）当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，斜率k3，直线l的方程为 y3x；当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，设直线l的方程 ，把点A（2，6）代入求得 a8，故直线l的方程为即 x+y80，故直线l的方程为3xy0或x+y80；（II）圆C：（x3）2+（y4）24的圆心C（3，4），半径R2，直线l被圆C：（x3）2+（y4）24截得的弦长为，故圆心C到直线l的距离d1，当直线l的斜率不存在时，直线x2显然满足题意，当直线l的斜率存在时，可设y6k（x2），即kxy+62k0，则d1，解可得，k，此时直线l：3x+4y300，综上可得直线l的方程x2或3x+4y300【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线距离公式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.19随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【答案】见详解【解析】【详解】设裁员人，可获得的经济效益为万元,则=依题意0.又140420, 70210.(1)当0,即70,即140210时，,取到最大值;20如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取中点，连接，根据已知条件，可证四边形为平行四边形，即可得证结论；（2）点到平面的距离，即为点到平面的距离，求出，的面积，等体积法，即可求出结论；（3）由（2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，为的中点，且，又，且，且，则，且，四边形为平行四边形，.又平面.平面，平面.（2）取的中点，连接，且，四边形是矩形，又平面，平面且，过点作平面于，则即为点到平面的距离.，.（3）连接由（2）知即为直线与平面所成的角，在中，又是的中点，所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到面距离，以及直线与平面所成的角，解题的关键是等体积法的应用，属于中档题.f21已知函数满足.（1）当时，解不等式；（2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当，由的单调性，即可求解；（2），由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解.【详解】（1）由题意可得，得，解得.（2）当时，在上单调递减，函数在区间上的最大值与最小值分别为，即 整理得对任意恒成立，函数对称轴方程为，函数在区间上单调递增，时，有最小值.由，得，故的取值范围为.【点睛】本题考查了对数函数的运算法则、单调性、不等式的解法，考查恒成立问题，转化为求二次函数最值，考查了推理能力和计算能力，属于较难题.22已知圆的方程为，点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围；（2）设是线上的点，且.请将表示为的函数.【答案】（1）（2），.【解析】（1）直线方程与圆方程联立，消元，整理成一元二次方程，由根的判别式大于零，即可求解；（2）设，由（1）结合根与系数关系，得出关系式，根据直线