图像变换理论

图 像 变 换图像变换的本质即就是图像上的点的变换。一、上下平移变换：1、 将函数y=2x的图像经过怎样的变换得到函数y=2x+1的图像？过（-1，2-1） (-1，2-1+1) 过（0，20） （0，20+1）函数值增加了1过（1, 21） （1, 21+1）过（2,22） （2，22+1）过(x, 2x) 图像向上平移 1个单位 (x, 2x+1) 自变量相同函数值减少了22、同理 y=logax y=logax-2 过（x，logax） 图像向下平移2个单位 (x, logax-2)自变量相同 函数值增加了13、同理 y=sinx y=sinx+1 过（x，sinx） 图像向上平移1个单位 (x, sinx+1)自变量相同 推广到一般函数：函数值增加了k y=f(x) y=f(x)+k 过（x，f(x)） 图像向上(下)平移k个单位 (x, f(x)+k)自变量相同 结论：y=f(x) 图像向上(下)平移k个单位 y=f(x)+k二、左右平移变换：1、将函数y=2x的图像经过怎样的变换得到函数y=2x+1的图像？过（-1，2-1） (-2，2-1) 令 x+1=-1,则x=-2 过（0，20） （-1，20） 令 x+1=0,则x=-1过（1, 21） （0, 21） 令 x+1=1,则x=-1过（2,22） （1，22） 令 x+1=2,则x=1自变量减少1 函数值相同过(t, 2t) 图像向左平移 1个单位 (t-1, 2t) 令 x+1=t,则x=t-1这两个位置相同原函数 y=2x改为 y=2t 新函数 y=2x+1 (区别新函数的自变量x)原自变量t t=x+1即x=t-1 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量t-1（向左平移）得到 ，所以把原函数图像向左平移1个单位得到新函数图像。 2、同理：自变量增加2 y=logax y=loga(x-2) 函数值相同过(t, logat) 图像向右平移 2个单位 (t+2, logat)令t=x-2,则x=t+2这两个位置相同原函数 y=logax改为 y=logat 新函数 y=loga（x-2） (区别新函数的自变量x)原自变量t t=x-2即x=t+2 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量t+2（向右平移）得到 ，所以把原函数图像向右平移2个单位得到新函数图像。 自变量增加23、 y=sin2x y=sin(2x+3) 函数值相同过(t, sin2t) 图像向左平移6个单位 (t-6, sin2t)令2t=2x+3,这两个位置相同原函数 y=sin2x改为 y=sin2t 新函数 y=sin(2x+3) (区别新函数的自变量x)原自变量t 2t=2x+3即x= t-6 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量 t-6（向左平移）得到 ，所以把原函数图像向左平移6个单位得到新函数图像。推广到一般函数 ：自变量变化了k y=f(x) y=f(x+k) 函数值相同过(t, f(t) 图像向(左)右平移 k个单位 (t-k, f(t)令t=x+k,这两个位置相同原函数 y=f(x)改为 y=f(t) 新函数 y=f(x+k) (区别新函数的自变量x)原自变量t t=x+k即x=t-k 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量t-k（向左或右平移）得到 ，所以把原函数图像向左或右平移k个单位得到新函数图像。结论： y=f(x) 图像向(左)右平移 k个单位 y=f(x+k)一般左右平移有三种题型： 变换的题型： ，知二求一解决变换问题的基本步骤：第一步：找出原自变量与新自变量第二步：找出原自变量（用t表示），新自变量（用x表示）第三步：列出原自变量t与新自变量x之间的关系式，解出x，根据题目要求，看着x与t的关系式说话三、伸缩变换自变量缩短一半 y=sinx y=sin2x 函数值相同过(t, sint) 纵坐标不变，横坐标缩短为原来一半 (t2, sint)令2x=t,则x= t2这两个位置相同 原函数 y=sinx改为 y=sint 新函数 y=sin2x (区别新函数的自变量x)原自变量t t=2x即x= t2 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量 t2得到 ，所以把原函数图像的横坐标缩短为原来的一半得到新函数图像。自变量伸缩为原来的1倍推广到一般函数 ： y=f(x) y=f(x)这两个位置相同函数值相同过(t, f(t)纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的1倍(t, f(t)令t=x,则x=t原函数 y=f(x)改为 y=f(t) 新函数 y=f(x) (区别新函数的自变量x)原自变量t t=x,则x=t 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：新自变量x由原自变量 得到t ，所以把原函数图像伸缩为原来的1倍得到新函数图像。结论： y=f(x) 纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的1倍 y=f(x)例1、已知原函数及新函数，求变换过程。要得到函数y=sin2x+3+1的图象，只要将函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？分析：第一步这两个位置相同 y=sinx y=sin2x+3 原函数 y=sinx改为 y=sint 新函数 y=sin(2x+3) (区别新函数的自变量x)原自变量t t=2x+3 新自变量x (运算的本质是位置) 看关系说话：（1）若x=t-32 ,则图像先向左平移3个单位，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12。（2）若x=t2-6 ,则图像先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再把图像向左平移6个单位。第二步：y=sin2x+3 y=sin2x+3+1因为自变量不变，函数值增加1，所以图像向上平移1个单位。例2：已知原函数及变换过程，求新函数。将函数y=cos2x的图像向右平移4个单位，再向上平移1个单位，求得到的函数解析式。第一步： y=cos2x 向右平移4个单位 y=f(x)原函数 y=cos2x 改为 y=cos2t 新函数 原自变量t x=t+4 新自变量x 验证了左加右减新自变量对应新函数原自变量对应原函数解出t=x-4 代入原函数解析式y=cos2t=cos2x-4=cos2x-2=sin2x 第二步，自变量不变，函数值增加1，得到y=sin2x+1所以，新函数的解析式为y=sin2x+1。练习：将函数y=sin12x的图像向左平移6个单位，再向下平移2个单位，求得到的函数解析式。例3：已知变换过程及新函数，求原函数。 将函数y=f(x)的图像向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的函数图像与y=sin2x+3-1的图像重合，求函数y=f(x)的解析式。分析：第一步： y=f(x) 图像向下平移1个单位 y=sin2x+3-1所以y=sin2x+3 y=f(x) 图像向右平移3个单位 y=sin2x+3原函数 y=f(x) 改为 y=f(t) 新函数 原自变量t x=t+3 新自变量x 解出 x=t+3 代入新函数解析式原自变量对应原函数新自变量对应新函数y=sin2x+3=sin2t+3+3=sin2t+=-sin2t 所以，得到原函数的解析式为f(x)=-sin2x。练习：将函数y=f(x)的图像向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到的函数图像与y=cos2x+3+1的图像重合，求函数y=f(x)的解析式。四、 轴对称图形：把握两点1、垂直2、平分1、几何特点：图形沿对称轴轴折叠-重合（图形）2、本质特征：对称轴垂直平分对称点连线3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。如何把图形表达成代数，步骤如下：图形由点组成点放入坐标系，存在有序数对（x，y）有序数对（x，y）可以写成方程4、轴对称图形常遇到的三类问题（1） 判断轴对称图形y1=y2 x1 +x22=a(a为定值)（2） 已知对称轴找对称点（已知：x0=a，则两个对称点：a+x，a-x）（3）已知对称点找对称轴 例：已知二次函数f（x1）=f（x2），则对称轴：5、放入到直角坐系：用对称点表达对称轴（图形由点组成：在直角坐标系中：点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程。对称轴（x0=a）x轴，对称点写成坐标。）（图形）（1）任取A、B对称点代表着图形内所有的点，A、B两点关于x0=a对称。（2）对于函数，其对称轴一般为x0=a，即对称轴x0=ax轴，又ABx轴，从而AB对称轴x0=a这条直线。因此，y1=y2，等价于AB对称轴x0=a。（3）A、B两点被直线x0=a垂直平分。因此在数轴上，a为中点。即：a-x1=x2-a，得到：2a= x1+x2，从而（定值）（4）y1=y2 （垂直） x1 +x22=aa为定值（平分）注意：从代数到图形，从图形到代数，即代数图形，即为数形结合本质：同一事物的不同表现形式。（5）讲解例题把握：运算的本质是位置这个位置是x2这个位置是x1例如：f（7+x） = f（3-x）这个位置是y2这个位置是y1 y1= f（7+x），y2= f（3-x）x1=7+x，x2= 3-xy1= y2且x1+ x2=7+x+ 3-x=10（定值）即满足所以，函数的对称轴为：x0=5特例： 偶函数：对称轴为x0=0（有一般到特殊）y1=y2，即f（x1）=f（x2）；x0=0，x1=-x2； 这个位置是y2这个位置是y1偶函数： x0=0 f-x=f(x)结论：一般地轴对称：（4）y1=y2 （垂直） x1 +x22=aa为定值（平分）特例：偶函数即为自变量为互为相反数，函数值不变（图形） 即就是偶函数图像关于y轴对称。例题：关于y轴对称函数值相同1、 y=2x y=2-x过(t, 2t) 图像关于y轴对称 (-t, 2t) 自变量互为相反数如图：2、 推广到一般函数 y=f(x) y=f(-x)函数值相同过(t, f(t) 图像关于y轴对称 (-t, f(t) 自变量互为相反数如上右图：结论：函数y=f(x) 与 y=f(-x) 的图像关于y轴对称。例题：关于x轴对称函数值互为相反数1、 y=2x y=-2x过(t, 2t) 图像关于x轴对称 (t, -2t) 自变量相同如图：2、 推广到一般函数 y=f(x) y=-f(x)函数值互为相反数过(x, f(x) 图像关于x轴对称 (-x, f(x) 自变量相同如图：结论：函数y=f(x) 与 y=-f(x) 的图像关于x轴对称。3、 y=2x y=2x=2x x0 2-x x0 过(t, 2t) t0 图像不变 t0时 t,2t t0时-t,2t t0图像关于y轴对称 如图： 推广到一般函数： y=f(x) y=f(x)=f(x) x0 f(-x) x0 过(t, f(t) t0 图像不变 t0时 t,f(t) t0时-t,f(t) t0图像关于y轴对折 结论：y=f(x) t0 图像不变 y=f(x) t0图像沿y轴对折 4、 y=log2x y=log2x过(t,log2t) log2t0 图像不变 log2t0时 t,log2t log2t0时t,-log2t log2t0图像沿x轴对折 如图： 推广到一般函数： y=f(x) y=f(x)=f(x) f(x)0 -f(x) f(x)0 过(t, f(t) f(t)0 图像不变 f(t)0时 t,f(t) f(t)0时t,-f(t) f(t)0图像关于x轴对折 结论：y=f(x) f(t)0 图像不变 y=f(x) f(t)0图像关于x轴对折 五、中心对称图形1、几何特征：沿对称中心旋转180，图象重合（图形）2、特点：对称中心是对称点连线的中点3、转化为代数：为解析几何打下基础，体现了代数与图形的统一。如何把图形表达成代数，步骤如下：（1）图形有点组成（2）点放入坐标系，存在有序数对（x，y）（3）有序数对（x，y）可以写成方程4、放入到直角坐标系；用对称点表达对称中心（图形有点组成：在直角坐标系中：点可以用有序数对表达，有序数对可以写成方程A（x1，y1），B（x2，y2）关于点M（a，b）中心对称（图形）（1）任取A、B对称点代表着图形内所有的点，A、B两点关于点M（a，b）中心对称。（2）因为A、B两点关于点M（a，b）中心对称，所以的A、B两点横坐标、纵坐标被M（a，b）平分。因此在数轴上，a，b分别为中点x1，x2，即y1，y2的中点，即：这个位置是x2这个位置是x15、例如：f（7+x） = - f（3-x）+6这个位置是y2这个位置是y1f（7+x）=-f（3-x）+6y1= f（7+x），y2= f（3-x）x1=7+x，x2= 3-xy1+ y2= f（7+x）+ f（3-x）=6（定值）且x1+ x2=7+x+ 3-x=10（定值）所以：对称中心（x0，y0）x0=5y0=3 即对称中心为（5,3）特例： 奇函数：对称中心为（0,0）（由一般到特殊）（图形） 结论：奇函数即自变量为互为相反数，函数值也为互为相反数。 即就是奇函数图像关于原点对称。例题：关于原点对称函数值互为相反数1、 y=2x y=-2-x过(x, 2x) 图像关于原点对称 (-x, -2x) 自变量互为相反数如图：函数值互为相反数2、 y=f(x) y=-f(-x)过(x, f(x) 图像关于原点对称 (-x,-f(-x) 自变量互为相反数如图：结论：函数y=f(x) 与 y=-f(-x) 的图像关于原点对称。例题分析：例1、（2012 高考）已知定义在区间上的函数的图像如图所示,则的图像为答案：B【解析】特殊值法:当时,故可排除D项;当时,故可排除A,C项;所以由排除法知选B. 另，所以可以由的图象先做关于原点的对称图形，然后再向右平移两个单位而得到。分析：图形变换问题本题需要进行两次变换：1、自变量变换，函数值不变；2自变量不变，函数值变换原函数f（t）g（x）=f（2-x）（自变量变换，函数值不变）反解x=2-t（反解新自变量x，把新自变量x代入新函数，得到原函数）怎么运算就怎么变换t2-t自变量相反，图像关于y轴对称，向右平移2个单位（y不变）g（x）-g（x）=-f（2-x）自变量不变。函数值相反，图像关于x轴对称（自变量不变，函数值变换）总结：变换问题涉及的题目形式具有多样化的特点，只有多样化的形式产生的多样化的结论统一起来，才能学生“记得住、想得起”，就需要我们反复强化原理和思维方式，只有把“简单题变成难题”，用于训练学生对原理和思维方式的理解和掌握，在简单题中体现原理和思维方法，简单看复杂（更能体现老师的水平）、复杂才能变简单。学生才能熟练的运用这样的原理和思维方法把“难题变成简单题”来做。最后达到“所有的题都是一道题”的理想效果，使问题再没有难易之分。例2： 2013湖北卷 将函数ycos xsin x(xR)的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案 B分析：原函数与新函数的变换问题：已知原函数和新函数，变换过程，求参数。方法：正运算（把原自变量代入原函数得到新函数，根据题目求参数）。(1)、原函数 y=3cosx+sinx=2sin(x+3) 新函数y=?（2）、原自变量 xt 新自变量x(x换成t,和新自变量x以示区别) (3)、原自变量和新自变量之间的关系式（向左平移m个单位）t x=t-m x 由x=t-mt=x+m （对位置进行运算）（把原自变量t代入原函数，得到新函数）将t=x+m代入原函数得到新函数y=2sint+3=2sin(x+m+3)因为新函数y=2sin(x+m+3)关于y轴对称，所以m+3=2+k,m=6+k,因为m0,所以当k=0时m的最小值为6。（要点：正运算-把原自变量代入原函数得新函数；逆运算-把新自变量代入新函数的原函数）例3. 2009全国卷2若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为_答案 分析：原函数与新函数的变换问题：已知原函数和新函数，变换过程，求参数。方法：正运算（把原自变量代入原函数得到新函数，根据题目求参数）。(1)、原函数 y=tan(x+4) 新函数y=tan(x+6) （2）、原自变量 xt 新自变量x(x换成t,和新自变量x以示区别) (3)、原自变量和新自变量之间的关系式（向右平移个单位）t x=t+6 x 由x=t+6 t=x-6 （对位置进行运算）（把原自变量t代入原函数，得到新函数）将t=x-6 代入原函数得到新函数y=tant+4=tanx-6+4=tan(x+6)由题目可知：x-6+4+k=x+6，得出=12+k。又（要点：正运算-把原自变量代入原函数得新函数；逆运算-把新自变量代入新函数的原函数）例4：把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题考查函数图象变换方法和技巧 把函数ycos2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵