圆周运动中的临界问题专题

课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/Rv临界= （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V临 能过最高点的条件：v，当v时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力不能过最高点的条件：vV临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） R R【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v0，若v0，则有关小球能够上升到最大高度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A、一定可以表示为 B、可能为 C、可能为R D、可能为R【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力当v0时，FNmg（N为支持力）当 0v时， FN随v增大而减小，且mgFN0，FN为支持力当v=时，FN0当v时，FN为拉力，FN随v的增大而增大（此时FN为拉力，方向指向圆心） 典例讨论 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程OO/R【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，RL，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。【解析对物块A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为0，此时向心力仅为弹簧弹力；若0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若0，则需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依向心力公式有m02R=k(RL)，所以，故时,得0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。Em，qLO【例3】如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？解析：小球至最高点时能以L为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力，则MgEq=mv02/L，得，故小球在竖直平面内能够做圆周运动时，小球至最高点的速度 拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为A点，物理最低点为B点，而几何最高点为C点，几何最低点为D点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合） A处速度的最小值（临界速度）应满足： 思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式?解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有同理m2在最高点有m2球由最高点到最低点机械能守恒又N1=N2【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为vm。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v2，则应有mv22/r2=mg解得v2= 如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=mg/m=g此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2=车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x2的路程上加速，才能达到速度vm。上述过程所用的总时间为t2=t减速t圆弧t加速=（2）同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t1=（2）另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 L r2 rl同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 x=2x12x2= r2 rl由于上述的L和x刚好相等，可见车在直道上以vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t1和t2即可由于 t2t1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 t=t1一t2=2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度转动？解析:当较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当太大时O2A拉直, O1A将松弛 设O2A刚好拉直,但FO2A仍为零时角速度为1，此时O2O1A =300,对小球：在竖直方向FO1Acos300mg在水平方向：FO1Asin300由得设O1A由拉紧转到刚被拉直,FO1A变为零时角速度为2对小球：FO2Acos600=mgFO2Asin600=m22Lsin600OAaLB由得,故【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B（可视为质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度绕O轴转动，问当取什么值时，小物体与杆可能相碰。【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。 我们分两种情况进行讨论：（1）当杆的转速较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t1，杆转过角所用时间为t2，两物要能相碰，t1和t2就满足下列条件：t1t2 又因为LBCgt12，=t2，由几何关系LBC=，Lcos=a，所以LBCgt12=解得t1=由=t2=arccos/L解得t2=arccos（a/L）将tl、t2代入式，得 arccos（a/L）解得arccos（a/L）/ （2）当杆的转速较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所用的时间为t2/，杆要与B相碰，t2/和tl必须满足下列条件：tlt2/由2+=t2/，所以t2/=（2+）=（2+arccos（a/L）/代入得（2+arccos（a/L）/，解得arccos（a/L）/由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：arccos（a/L）/或arccos（a/L）/时，物体B均有可能和细杆相碰。典例分析杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中F=1/2mgmg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。若F向上，则 若F向下，则如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的34，圆滑半径为R，斜面倾角为，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？ 解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F1.25mg，方向与竖直方向左偏下37，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：即：由动能定理有：联立、可求出此时的高度h。【例6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O对于B，T=mg对于A，rad/s rad/s所以 2.9 rad/s rad/s【例7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）A球的质量为m1，B球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对B球的压力一定是竖直向下的由机械能守恒定律，B球通过圆管最高点时的速度v满足方程根据牛顿运动定律对于A球，对于B球，又 N1=N2解得 针对练习：1如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为A. B. C. D. 2由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力A.相等B.前者一定稍大于后者C.前者一定稍小于后者D.均可能为零3用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为，线的张力为T，则T随2变化的图象是图（2）中的 4在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过ABCD5如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于 ARBHCRDR6如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是Aa处为拉力，b处为拉力Ba处为拉力，b处为推力Ca处为推力，b处为拉力Da处为推力，b处为推力7如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R。重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；（2）小球A冲进轨道时速度v的大小。解析：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有解得（2）设球A的质量为m，碰撞前速度大小为v1，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律知 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v2，由动量守恒定律知 飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有 综合式得 某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3,不计其它机械能损失。已知ab段长L1. 5m，数字“0”的半径R0.2m，小物体质量m=0.01kg,g=10m/s2。求：（1）小物体从p点抛出后的水平射程。（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。解析：（1）设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得： s=vt 由式联立代入数据解得：s=0.8m （2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，由牛顿第二定律得：由两式联立代入数据解得：F0.3N，方向竖直向下。答案： 0.8m 0.3N 方向竖直向下Mmv0OPL如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0=4 m/s，g取10m/s2。（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。解析：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1。在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则 设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则 由式，得 F=2N 由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上。 （2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有 在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则 由式，得 v2=2m/s （3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V/。由系统水平方向的动量守恒，得 将式两边同乘以，得 因式对任意时刻附近的微小间隔都成立，累积相加后，有 又 由式得 如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半 部AB是