广东彭湃中学高三级入学考试数学理科

2008届彭湃中学高三年级摸底考试数 学（理 科）2007-8-30本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页 满分150分. 考试时间：120分钟.参考公式：第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知集合M=,集合N=,那么当y=0时有（ ） A. M=N=2,-2 B. M =2,-2,N=(2,0),(-2 ,0) C. M=N=(2,-2) D. M =2,-2,N=(2,-2) 2设复数：为实数，则x =（ ）A2B1C1D2 3已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5 B.4 C. 3 D.24如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的全面积为 ( )A. B. C. D.5、某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法是： （ ）tdOtdOtdOtdO (A) (B) (C) (D)6.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）若与所成的角相等，则 若，则若，则 若，则7已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率是( )A B. C. D. 8如果函数在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的，有成立. 已知函数在区间0，上是“凸函数”，则在ABC中，的最大值是（ ）A B C D第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，其中912题是必做题，1315题是选做题.每小题5分，满分30分.9. 右图是2007年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ，方差分别为 。 开始i=1，sum=0，s=0输出s结束i=i+1sum=sum+1s=s+1/(sum*i)是否10. 设实数x, y满足 11. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 .12. 下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块（用含n的代数式表示） 选做题:在下面三道小题中选做两题,三道都选的只计算前两题的得分.ACPDOEF B13. 如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为O上一点，弧，交于点，且，则_14. 在极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为 . 15.已知都是正数，且则的最小值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16. （本小题满分12分） 如图,在中,.()求; () 记的中点为,求中线的长.17. （本小题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算18. （本小题满分14分）如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（）求点C到平面PBD的距离.DPABC（）在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由。19. （本小题满分14分）在实数集R上定义运算若，若() 求的解析式；() 若单在上是减函数，求实数的取值范围；() 若，的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由20. （本小题满分14分）设抛物线过定点，且以直线为准线（）求抛物线顶点的轨迹的方程；（）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围21（本小题满分14分）已知：函数在上有定义，且对有（）试判断函数的奇偶性；（）对于数列，有试证明数列成等比数列；（）求证：2008届彭湃中学高三年级摸底考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算 共10小题，每小题5分，满分50分题 号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答 案BACBDDDC二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共5小题，其中913题是必做题，1415题是选做题. 每小题5分，满分20分. 第11小题的第一个空2分、第二个空3分三、解答题: 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16.(本题满分12分)解: ()由, 是三角形内角，得.2分 .5分 6分() 在中,由正弦定理， ，.9分, ,由余弦定理得: =12分17. 解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人 (I)，3分即x=25分故文娱队共有5人6分(II) ，8分的概率分布列为012P10分 =1 12分yzDPABCx18（）在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2，ABCD为正方形，因此BDAC. 1分PA=AB=AD=2，PB=PD=BD= 2分设C到面PBD的距离为d，由，有， 即，4分得5分（）如图建立空间直角坐标系因为在上，所以可设，6分又, ,.8分易求平面的法向量为，10分（应有过程）所以设与平面所成的角为，则有：12分所以有， 13分所以存在且14分19、解：（） = 3分（） 4分 当上时，单调递减 ，恒成立 6分 = 解得： 7分（）时，8分 设是曲线上的任意两点9分 10分12分不成立13分的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直。14分20解：（）设抛物线的顶点为，则其焦点为由抛物线的定义可知：所以，所以，抛物线顶点的轨迹的方程为： （）显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：由于与轨迹交于不同的两点，所以，即（）又线段恰被直线平分，所以，所以， 代入（）可解得：BB设弦MN的中点在中，令，可解得：将点代入，可得：所以，解法二设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，可知：两式相减得：又由于，代入上式得：又点在弦MN的垂直平分线上，所以，所以，由点在线段BB上（B、B为直线与椭圆的交点，如图），所以， 也即：所以，21（）解：在中，