应用多元统计分析课后习题答案 (第三章部分习题解答).ppt

应用多元统计分析 第三章习题解答 2 第三章多元正态总体参数的假设检验 3 1设X Nn 2In A为对称幂等阵 且rk A r r n 证明 证明因A为对称幂等阵 而对称幂等阵的特征值非0即1 且只有r个非0特征值 即存在正交阵 其列向量ri为相应特征向量 使 3 第三章多元正态总体参数的检验 4 其中非中心参数为 第三章多元正态总体参数的检验 5 3 2设X Nn 2In A B为n阶对称阵 若AB 0 证明X AX与X BX相互独立 证明的思路 记rk A r 因A为n阶对称阵 存在正交阵 使得 A diag 1 r0 0 令Y X 则Y Nn 2In 第三章多元正态总体参数的检验 且 6 又因为X BX Y B Y Y HY其中H B 如果能够证明X BX可表示为Yr 1 Yn的函数 即H只是右下子块为非0的矩阵 则X AX与X BX相互独立 第三章多元正态总体参数的检验 7 证明记rk A r 若r n 由AB O 知B On n 于是X AX与X BX独立 若r 0时 则A 0 则两个二次型也是独立的 以下设0 r n 因A为n阶对称阵 存在正交阵 使得 第三章多元正态总体参数的检验 8 其中 i 0为A的特征值 i 1 r 于是 令 r 第三章多元正态总体参数的检验 由AB O可得DrH11 O DrH12 O 因Dr为满秩阵 故有H11 Or r H12 Or n r 由于H为对称阵 所以H21 O n r r 于是 9 由于Y1 Yr Yr 1 Yn相互独立 故X AX与X BX相互独立 第三章多元正态总体参数的检验 令Y X 则Y Nn 2In 且 10 设X Np 0 A和B为p阶对称阵 试证明 X A X 与 X B X 相互独立 A B 0p p 第三章多元正态总体参数的检验 3 3 11 由 1 结论6 知 与 相互独立 第三章多元正态总体参数的检验 12 性质4分块Wishart矩阵的分布 设X Np 0 1 n 相互独立 其中 又已知随机矩阵 则 第三章多元正态总体参数的检验 试证明Wishart分布的性质 4 和T2分布的性质 5 3 4 13 第三章多元正态总体参数的检验 证明 设 记 则 即 14 第三章多元正态总体参数的检验 当 12 O时 对 1 2 n 相互独立 故有W11与W22相互独立 由定义3 1 4可知 15 性质5在非退化的线性变换下 T2统计量保持不变 证明 设X 1 n 是来自p元总体Np 的随机样本 X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵 则由性质1有 第三章多元正态总体参数的检验 令 其中C是p p非退化常数矩阵 d是p 1常向量 则 16 第三章多元正态总体参数的检验 所以 17 第三章多元正态总体参数的检验 3 5 对单个p维正态总体Np 均值向量的检验问题 试用似然比原理导出检验H0 0 0已知 的似然比统计量及分布 解 总体X Np 0 0 0 设X 1 n n p 为来自p维正态总体X的样本 似然比统计量为 P66当 0已知 的检验 18 第三章多元正态总体参数的检验 19 第三章多元正态总体参数的检验 20 第三章多元正态总体参数的检验 因 所以由 3 一 2 的结论1 可知 21 第三章多元正态总体参数的检验 3 6 均值向量各分量间结构关系的检验 设总体X Np 0 X 1 n n p 为来自p维正态总体X的样本 记 1 p C为k p常数 k p rank C k r为已知k维向量 试给出检验H0 C r的检验统计量及分布 解 令 则Y 1 n 为来自k维正态总体Y的样本 且 22 第三章多元正态总体参数的检验 检验 这是单个k维正态总体均值向量的检验问题 利用 3 2当 y C C 未知时均值向量的检验给出的结论 取检验统计量 23 第三章多元正态总体参数的检验 3 7设总体X Np 0 X 1 n n p 为来自p维正态总体X的样本 样本均值为X 样本离差阵为A 记 1 p 为检验H0 1 2 p H1 1 2 p至少有一对不相等 令 则上面的假设等价于H0 C 0p 1 H1 C 0p 1试求检验H0的似然比统计量和分布 解 至少有一对不相等 24 第三章多元正态总体参数的检验 利用3 6的结果知 检验H0的似然比统计量及分布为 其中 注意 3 6中的k在这里为p 1 25 第三章多元正态总体参数的检验 3 8假定人体尺寸有这样的一般规律 身高 X1 胸围 X2 和上半臂围 X3 的平均尺寸比例是6 4 1 假设X 1 n 为来自总体X X1 X2 X3 的随机样本 并设X N3 试利用表3 5中男婴这一组数据检验三个尺寸 变量 是否符合这一规律 写出假设H0 并导出检验统计量 解 检验三个尺寸 变量 是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题 因为 其中 注意 26 第三章多元正态总体参数的检验 检验的假设H0为 利用3 6的结论 取检验统计量为 由男婴测量数据 p 3 n 6 计算可得T2 47 1434 F 18 8574 p值 0 009195 0 05 故否定H0 即认为这组数据与人类的一般规律不一致 27 第三章多元正态总体参数的检验 3 9 对单个p维正态总体Np 协差阵的检验问题 试用似然比原理导出检验H0 0的似然比统计量及分布 解 总体X Np 设X 1 n 为来自p维正态总体X的样本 似然比统计量为 28 第三章多元正态总体参数的检验 29 第三章多元正态总体参数的检验 由定理3 2 1 当n充分大时 有 30 第三章多元正态总体参数的检验 3 10 对两个p维正态总体Np 1 和Np 2 均值向量的检验问题 试用似然比原理导出检验H0 1 2 的似然比统计量及分布 解 设 1 ni 为来自总体X Np i 的随机样本 i 1 2 且相互独立 0未知 检验H0似然比统计量为 记 其中 31 第三章多元正态总体参数的检验 其中A A1 A2称为组内离差阵 B称为组间离差阵 32 第三章多元正态总体参数的检验 因为 似然比统计量 33 第三章多元正态总体参数的检验 所以 34 第三章多元正态总体参数的检验 由定义3 1 5可知 由 或 由于 35 第三章多元正态总体参数的检验 可取检验统计量为 检验假设H0的否定域为 36 第三章多元正态总体参数的检验 3 11 表3 5给出15名2周岁婴儿的身高 X1 胸围 X2 和上半臂围 X3 的测量数据 假设男婴的测量数据X 1 6 为来自总体N3 1 的随机样本 女婴的测量数据Y 1 9 为来自总体N3 2 的随机样本 试利用表3 5中的数据检验H0 1 2 0 05 解 这是两总体均值向量的检验问题 检验统计量取为 p 3 n 6 m 9 37 第三章多元正态总体参数的检验 其中 故检验统计量为 用观测数据代入计算可得 故H0相容 显著性概率值 38 第三章多元正态总体参数的检验 3 12在地质勘探中 在A B C三个地区采集了一些岩石 测其部分化学成分见表3 6 假定这三个地区岩石的成分遵从N3 i i i 1 2 3 0 05 1 检验H0 1 2 3 H1 1 2 3不全等 2 检验H0 1 2 H1 1 2 3 检验H0 1 2 3 H1 存在i j 使 i j 4 检验三种化学成分相互独立 解 4 设来自三个总体的样本为 p 3 k 3 检验H0的似然比统计量为 39 第三章多元正态总体参数的检验 似然比统计量的分子为 40 第三章多元正态总体参数的检验 称为合并组内离差阵 41 第三章多元正态总体参数的检验 42 第三章多元正态总体参数的检验 似然比统计量的分母为 43 第三章多元正态总体参数的检验 检验H0的似然比统计量可化为 44 第三章多元正态总体参数的检验 Box证明了 在H0成立下当n 时 blnV 2 f 其中 V 0 7253 blnV 3 2650 因p 0 3525 0 05 故H0相容 即随机向量的三个分量 三种化学成分 相互独立 45 第三章多元正态总体参数的检验 或者利用定理3 2 1 当n充分大时 2ln 2 f 其中f p p p 1 2 p p