论ts和ωc的关系.doc

论自动控制系统中频域和时域快速性的关系通常我们都用截止频率作为开环频域指标来分析系统的快速性，而在时域中我们通常用调节时间来分析系统的快速性，但是对于他们之间的关系我们却没有一个明确的说法。下面我们来讨论和c之间的关系。通常人们都简单的认为：在控制系统中，系统的调节时间和截止频率之间是成反比的关系，即随着c的增大减小，但事实并非如此。下面我们分别从二阶系统和高阶系统来反正这个结论的错误性。一，对于二阶系统如图1-1是一个典型二阶系统的结构图，我们可以得出它的传递函数为图1-1 二阶系统结构图 R(S) C(S) + _ G(S) = （0 1） 相应的闭环传递函数为 (s) = 若改变开环增益K的大小，截止频率c和调整时间会怎么变化呢？是否截止频率增大，调整时间一定减小呢?下面我们来证明。 由图1-1我们可得系统的开环频率特性为 G(j) = (1-1)由式(1-1)可得开环幅频和相频特性分别为 = (1-2) = (1-3)在=c处，=1，即 = =1得 对于典型二阶系统来说K=所以上式可化简为 (1-4)jK K=0K 0K=0K=图1-2 二阶系统的根轨迹图所以当开环增益K增大时，在增大，故截止频率增大！若以系统调节时间随着的增大而减小的常规说法来看，此时系统的调节时间应该是减小的，事情真的是这样吗?下面我们来看看随着K的变化是怎么变化的。 从根轨迹方面来说：我们可以由系统的结构图（图1-1）作出如右图1-2所示的系统根轨迹图。从右图中，我们可以明显的看出，两条渐近线到虚轴的距离始终不会改变，都是。由于渐近线到虚轴的距离决定系统调节时间的大小，所以该系统的调节时间不会随着开环增益K的增加而改变。 从公式推导来看：对于典型二阶系统的调节时间为 = （） (1-5) = （） (1-6)当开环增益K增加时，虽然和都发生了改变，但他们的乘积即的值是没有改变的(由系统开环传递函数分母中s的一次项系数没变可得知)，所以该系统的调节时间也没有改变。由上可知，当二阶系统的开环增益变大时，它的截止频率是增大的，但我们利用公式推导和根轨迹推导都可以得到同样的结论：系统的调节时间的值是不变的。所以对于二阶系统：通常我们认为的增加系统的截止频率c的大小会缩短系统的调节时间值的观点是不正确的！二：对高阶系统如果我们还是按常规方法，先设出开环传递函数，再利用开环传递函数来求闭环传递函数后利用公式推导来求系统时域调节时间，那样就涉及到求解复杂的超越方程，以我们现在所学的知识是解不出来的，所以这种方法是不可取的。那么我们应该怎么做呢？如果我们反过来做，先设出高阶系统的闭环传递函数利用公式求出值，再将闭环传递函数转换成开环传递函数求出，最后再来比较它们之间的关系，那样就简单多了。 故我们设一个高阶系统的闭环传递函数为 (其中m n) (1-7)则该系统的单位阶跃响应拉式变换式为： (1-8)在这里我们设该系统是稳定的(可以得出系统闭环极点均为负极点)，且是单极点系统，故上式可转化为： (1-9)经拉式反变换得： (1-10)有上式我们可以求出该响应的终值为： (1-11)又因为系统调节时间的计算公式为 (1-12)将式(1-10)和式(1-11)代入式(1-12)中两边可以将K消去，故我们可得到调节时间的值只是与系统零极点分布有关，而与增益K的大小无关，即K值的改变不会导致系统调节时间的改变。但是K值的变化会不会影响截止频率值的变化呢？下面我们来证明。我们利用开环传递函数和闭环传递函数之间的关系即： (1-13)可以求得对一个单位反馈的系统，它的开环增益应该为： (1-14)所以将式(1-7)代入式(1-14)得 (1-15)由上式我们可以得到：系统的截止频率会随着K值变化而具有不确定性，当我们代具体值去计算时会发现随着K值的变化的值也是在改变的，但在上面我们已经证明了不会随着K值变化而变化的。所以我们得出：当变化时也可能是不变化的，所以增大减小的结论对于高阶系统来说也是错误的。那么它们之间到底具有什么样的关系呢？对于二阶系统，我们利用公式来进行下面的推导不难得出它们之间的关系。对式(1-3)在处有 =由此可得系统的相角裕度为 = + = = (1-16)将式(1-4)代入式(1-16)得相角裕度与阻尼比的关系是为 = (1-17) 故当系统开环增益K增大时即增大了，但由于没有改变，所以也发生了改变，所以可以得到系统的相角裕度也发生了变化。 若将式(1-5)和式(1-4)相乘可以得到 (1-18) 再由式(1-17)和式(1-18)可以得到 = (1-19)所以可得系统的调节时间并不是这与截止频率成比例的关系，而是与系统的相角裕度和截止频率都有关，对于二阶系统有如式(1-19)所示的关系式。对于一般的三阶或三阶以上的高阶系统，要准确地推导出和c之间的关系式非常困难的，并且实用意义不大。通过查阅资料得出：通常人们都用下面的公式来估算它们的关系: () (1-20)由上式我们也是可以得出在控制系统中调节时间还是与相角裕度和截止频率c是都有关系的，并不能简单的说和c之间是成反比关系。即增大截止频率的大小不一定就可以减小系统的调节时间，要综合考虑相角裕度的变化情况。只有当c增大时，变化不大，可以忽略不计的情况下，和c之间是成反比关系，即在这种情况下增大系统的截止频率可以改善系统的动态响应(减小调节时间)。综上所述我们可以得到： 对于一个控制系统，调节时间与相角裕度和截止频率c都有关系。如果相角裕度固定，则c和是成反比的，即c越大的系统调节时间越小，动