（浙江专用）高考数学第二章函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示教学案.docx

第二章 函数概念与基本初等函数 知识点最新考纲函数及其表示 了解函数、映射的概念 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法) 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数 了解幂函数的概念 掌握幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.第1讲函数及其表示1函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，则对应关系f是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：选B.对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.2(必修1P25B组T1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案：3，02，31，51，2)(4，53(必修1P19T1(2)改编)函数y的定义域是_解析：x2.答案：2，)易错纠偏(1)对函数概念理解不透彻；(2)换元法求解析式，反解忽视范围1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：2已知f()x1，则f(x)_解析：令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)函数的定义域(1)(2020杭州学军中学月考)函数f(x)的定义域为_(2)若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)的定义域为_(3)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使解得x.所以函数f(x)的定义域为.(2)由得0x1，即定义域是0，1)(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.【答案】(1)(2)0，1)(3)1，0 (变条件)若将本例(2)中“函数yf(x)”改为“函数yf(x1)”，其他条件不变，如何求解？解：由函数yf(x1)的定义域为0，2，得函数yf(x)的定义域为1，3，令得x且x1.所以g(x)的定义域为.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得yf(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解提醒(1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式 1(2020浙江新高考优化卷)函数f(x)lg(3x25x2)的定义域是()A. B.C. D.解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有，解得x0得x1，所以Bx|x1，所以ABx|x1故选C.3若函数f(x)的定义域为实数集，则实数m的取值范围是_解析：由题意可得mx2mx10恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则解得0m4.综上可得0m4.答案：0，4求函数的解析式 (1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式【解】(1)(配凑法)由于fx22，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2.(2)(换元法)令1t得x，代入得f(t)lg ，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg ，x1.(3)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(4)(解方程组法)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得，3f(x)2x12x.即f(x).所以f(x)的解析式是f(x)，xR.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)提醒求解析式时要注意新元的取值范围 1(2020杭州学军中学月考)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为f(x)_解析：法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：因为x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)答案：x21(x1)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2，则f(x)的解析式为f(x)_解析：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，所以a1，b2，f(x)x22xc.又因为方程f(x)0有两个相等的实根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.答案：x22x1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)；(3)与分段函数有关的方程、不等式问题角度一分段函数求值 (2020杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)g(x)x2，则f(8)_；gf(2)_；f_【解析】f(8)log283，gf(2)g(log22)g(1)1，fff(1)f(1)log210.【答案】310角度二已知函数值求参数的值(或取值范围) (2020瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)，若f(f(a)3，则a_【解析】函数f(x)，若f(f(a)3，当a1时，可得f(2a21)3，可得log2(2a2)3，解得a2.当a1时，可得f(log2(1a)3，log2(1a)1时，可得2(log2(1a)213，解得a.log2(1a)1时，可得log2(1log2(1a)3，即1log2(1a)8，log2(1a)7，1a，可得a.综上得a的值为2或.【答案】2或角度三与分段函数有关的方程、不等式问题 (2020镇海中学5月模拟)已知函数f(x)则f(f(2)_，若f(x)2，则x的取值范围为_【解析】由分段函数的表达式得f(2)2422，f(2)0，故f(f(2)0.若x1，由f(x)2得22，得4，则2x4，得x2，则x2，此时x2.若x1，由f(x)2得(x2)(|x|1)2，即x|x|x2|x|0，若x0，得x23x0，则x3或x0，此时x3或x0；若1x0，得x2x0，得x2x0，得0x1，此时无解综上得x3或x0或x2.【答案】0x3或x0或x2(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 1(2020浙江教育评价高三第二次联考)设函数f(x)，则f(f(4)()A2 B3C5 D6解析：选C.f(f(4)f(31)log2 325.故选C.2(2020Z20联盟开学联考)已知函数f(x)，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，42，) B1，2C4，0)(0，2 D4，2解析：选D.f(a)1或解得4a0或00，排除A、B；y|x|的定义域为xR，对应关系与yx的对应关系不同，排除C；而y()3x，定义域和对应关系与yx均相同，故选D.4(2020杭州七校联考)已知函数f(x)x3cos1，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析：选B.因为函数f(x)x3cos1，所以f(x)x3sin x1，因为f(a)2，所以f(a)a3sin a12，所以a3sin a1，所以f(a)(a)3sin(a)1110.故选B.5已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab等于()A1 B2C3 D4解析：选D.由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的两根，故ab4.6存在函数f(x)满足：对于任意xR都有()Af(sin 2x)sin x Bf(sin 2x)x2xCf(x21)|x1| Df(x22x)|x1|解析：选D.取特殊值法取x0，可得f(0)0，1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x0，可得f(0)0，2，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x1，1，可得f(2)2，0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)，则对任意xR都有f(x22x)|x1|，故选项D正确7已知f，则f(x)的解析式为()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)解析：选C.令t，则x，所以f(t)，故函数f(x)的解析式为f(x)，故选C.8设函数f(x)则(ab)的值为()Aa BbCa，b中较小的数 Da，b中较大的数解析：选C.若ab0，即ab，则f(ab)1，则(ab)(ab)b(ab)；若ab0，即ab，则f(ab)1，则(ab)(ab)a(ab)综上，选C.9(2020绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)，若f(f()2，则实数n为()A BC. D.解析：选D.因为f()2nn，当n1，即n时，f(f()2(n)n2，解得n，不符合题意；当n1，即n时，f(f()log2(n)2，即n4，解得n，故选D.10设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(fg)(x)：对任意的xR，(fg)(x)f(g(x)若f(x)g(x)则()A(ff)(x)f(x) B(fg)(x)f(x)C(gf)(x)g(x) D(gg)(x)g(x)解析：选A.对于A，(ff)(x)f(f(x)当x0时，f(x)x0，(ff)(x)f(x)x；当x0时，f(x)x20，(ff)(x)f(x)x2；当x0时，(ff)(x)f2(x)002，因此对任意的xR，有(ff)(x)f(x)，故A正确，选A.11.若函数f(x)在闭区间1，2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_解析：由题图可知，当1x0时，1a1，此时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1，1a1时，f(x)x6，由基