（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案.docx

第四章 三角函数、解三角形知识点最新考纲任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦及正切公式掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.简单的三角恒等变换掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数yAsin(x)的实际意义，掌握yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用.第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合按终边位置象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|角度与弧度的换算1rad，1 rad5718弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定 义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若，则tan sin .()(6)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修4P10A组T7改编)角225_弧度，这个角在第_象限答案：二2(必修4P15练习T2改编)设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin _解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin ，cos ，所以2cos sin 2.答案：3(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案：易错纠偏(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析：选C.与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确故选C.2若sin 0，则是第_象限角解析：由sin 0知的终边在第一或第三象限，故是第三象限角答案：三3已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：1象限角及终边相同的角 (1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()A. B.C. D.(3)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_【解析】(1)因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角(2)根据题意，角的终边在直线yx上，为第二象限角时，2k(2k1)，kZ；为第四象限角时，2k(2k2)，kZ；综上，角的取值集合是.故选D.(3)如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.【答案】(1)C(2)D(3) (1)表示区间角集合的三个步骤(2)求或n(nN*)所在象限(位置)的方法将的范围用不等式(含有k)表示两边同除以n或乘以n.对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限(位置) 1在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.答案：675或3152若sin tan 0，且0，则是第_象限角解析：由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角；由0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20【解析】因为tan 0，所以(kZ)是第一、三象限角所以sin ，cos 都可正、可负，排除A，B.而2(2k，2k)(kZ)，结合正弦函数图象可知，C正确取，则tan 10，而cos 20，故D不正确【答案】C角度三利用三角函数线解不等式 函数y 的定义域为_【解析】由题意，得sin x，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.【答案】，kZ角度四三角函数定义中的创新 (2020台州质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(，)，所以P0Ox.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得POP0t，所以POxt.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2.令t0，则d2.当t时，d0，故选C.【答案】C (1)定义法求三角函数值的三种情况已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况提醒若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同) 1已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为()A(1，) B(，1)C(，) D(1，1)解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1，1)2已知角的终边经过点P(，m)，且sin m(m0)，则角为第_象限角解析：依题意，点P到原点O的距离为r ，所以sin ，又因为sin m，m0，所以m，所以m2，所以m.所以点P在第二或第三象限答案：二或三基础题组练1已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4C6 D8解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2lrr2r24，求得r1，lr4，所以所求扇形的周长为2rl6.2若角与的终边相同，则角的终边()A在x轴的正半轴上 B在x轴的负半轴上C在y轴的负半轴上 D在y轴的正半轴上解析：选A.由于角与的终边相同，所以k360(kZ)，从而k360(kZ)，此时角的终边在x轴正半轴上3已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B.C D.解析：选B.因为r，所以cos ，所以m0，所以，因此m.4集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k2n时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样当k2n1时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样故选C.5已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3解析：选B.由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.故选B.6.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右，Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是()AS1S2BS1S2CS1S2D先S1S2解析：选C.因为圆O与直线l相切，所以OAAP，所以S扇形AOQrOA，SAOPOAAP，因为AP，所以S扇形AOQSAOP，即S扇形AOQS扇形AOBSAOPS扇形AOB，则S1S2.故选C.7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _解析：因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案：8已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限角解析：因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0，2cos 0恒成立，则实数的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.由题意知，令f(x)(cos sin 1)x2(2sin 1)xsin 0，因为cos sin 10，所以f(x)0在1，0上恒成立，只需满足，故选A.3若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14，则这两个扇形的周长之比为_解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为，半径分别为r，R(其中rR)，则，所以rR12，两个扇形的周长之比为12.答案：124已知xR，则使sin xcos x成立的x的取值范围是_解析：在0，2区间内，由三角函数线可知，当x(，)时，sin xcos x，所以在(，)上使sin xcos x成立的x的取值范围是(2k，2k)，kZ.答案：(2k，2k)，kZ5若角的终边过点P(4a，3a)(a0)(1)求sin cos 的值；(2)试判断cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点P(4a，3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos .当a0时，r5a，sin cos .(2)当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos si