（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何6第6讲双曲线教学案.docx

第6讲双曲线1双曲线的定义条 件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距|MF1|MF2|2a2a0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(选修21P61A组T1改编)若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，所以2ab.又a2b2c2，所以5a2c2.所以e25，所以e.答案：2(选修21P62A组T6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析：设双曲线的方程为1(a0)，把点A(3，1)代入，得a28(舍负)，故所求方程为1.答案：13(选修21P61练习T3改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得焦点为(1，0)，顶点为(2，0)所以双曲线的顶点为(1，0)，焦点为(2，0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.答案：x21易错纠偏(1)忽视双曲线的定义；(2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系1平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是_解析：由|PF1|PF2|6|F1F2|8，得a3，又c4，则b2c2a27，所以所求点的轨迹是双曲线1的下支答案：双曲线1的下支2坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为_解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为1，则渐近线的方程为yx，由题意可得tan ，ba，可得c2a，则e2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为1，则渐近线的方程为yx，由题意可得tan ，ab，可得ca，则e.综上可得e2或e.答案：2或3若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_解析：由条件知yx过点(3，4)，所以4，即3b4a，所以9b216a2，所以9c29a216a2，所以25a29c2，所以e.答案：双曲线的定义 (1)(2020宁波高三质检)设双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于()A10B8C8 D16(2)(2020温州八校联考)ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_【解析】(1)依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形PF1F2的面积S8 8.(2)如图，ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)【答案】(1)C(2)1(x3) (变条件)若本例(1)中“|PF1|PF2|34”变为“PF1PF2”，其他条件不变，如何求解解：设|PF1|m，|PF2|n，则解得mn16，所以SPF1F2mn8.双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差|MF1|MF2|2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题提醒在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支 1已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48 B24C12 D6解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.2(2020衢州调研)若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9C10 D12解析：选B.由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为9.双曲线的标准方程 (1)已知双曲线C：1 (a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2020浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_【解析】(1)根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知，又椭圆1的焦点坐标为(3，0)和(3，0)，所以a2b29，根据可知a24，b25，所以选B.(2)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2，0)，C(2，3)，所以解得所以双曲线的标准方程为x21.【答案】(1)B(2)x21(1)求双曲线标准方程的答题模板(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的方程可设为(0)；若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为1(mn0)或mx2ny21(mn0，b0)由题意知，2b12，e，所以b6，c10，a8.所以双曲线的标准方程为1或1.(2)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13.所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(3)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，所以可设双曲线的方程为x24y2(0)因为双曲线过点(4，)，所以164()24，所以双曲线的标准方程为y21.法二：因为渐近线yx过点(4，2)，而0，b0)由已知条件可得解得所以双曲线的标准方程为y21.双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题主要命题角度有：(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线的离心率(或范围)角度一求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 (2020义乌模拟)已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D4【解析】由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程 已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0【解析】由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos 30，得ca，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.【答案】A角度三求双曲线的离心率(或范围) (1)(2019高考浙江卷)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A. B1C. D2(2)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为xy0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足ab，所以ca，所以双曲线的离心率e.故选C.(2)在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以，所以点P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又因为|PF1|PF2|2a，所以|PF2|.由双曲线的几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，所以1e1，故1e0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A.如图所示，连接OA，OB，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a，0)，F(c，0)由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60.因为FA与圆O相切于点A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以b a，故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.2(2020绍兴诸暨高考模拟)设双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足PF2F12PF1F260，则此双曲线的离心率等于()A22 B.C.1 D22解析：选C.设双曲线的焦距长为2c，因为点P为双曲线上一点，且PF1F230，PF2F160，所以P在右支上，F2PF190，即PF1PF2，|PF1|2csin 60c，|PF2|2ccos 60c，所以由双曲线的定义可得|PF1|PF2|(1)c2a，所以e1.故选C.3(2020嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线1(a0，b0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为_，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为_解析：因为右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，所以b2cc，平方得b2c2c2a2，即a2c2，则c2a，则离心率e2，因为双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，所以2a4，则a2，从而b2.答案：24直线与双曲线的位置关系 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围【解】(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得，a，c2，再由a2b2c2，得b21，所以双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知所以k的取值范围为. (变问法)在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围解：由(2)得：xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.因为k1，所以213k20.所以m0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .基础题组练1若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2xByxCyx Dyx解析：选B.由条件e，即，得13，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选B.2已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为ykx(k0)，离心率ek，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.由已知得所以a24b2.所以双曲线的方程为1.3(2020杭州学军中学高三质检)双曲线M：x21的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|c2，则点P的横坐标为()A. B.C. D.解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|PF2|2，则|PF2|PF1|2c，又|OP|c，F1PF290，由勾股定理可得(c2)2c2(2c)2，解得c1.易知POF2为等边三角形，则xP，选项A正确4(2020杭州中学高三月考)已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为()A. B3C. D2解析：选D.由题意，F1(c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为yx，则F2到渐近线的距离为b.设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，所以|MF2|2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，所以OAF1M，所以F1MF2为直角，所以MF1F2为直角三角形，所以由勾股定理得4c2c24b2，所以3c24(c2a2)，所以c24a2，所以c2a，所以e2.故选D.5已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B.C. D.解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以(1，0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.6(2020浙江高中学科基础测试)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y220x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|17，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选B.由题意知F(5，0)，不妨设P点在x轴的上方，由|PF|17知点P的横坐标为17512，则其纵坐标为4，设双曲线的另一个焦点为F1(5，0)，则|PF1|23，所以2a|PF1|PF|23176，所以a3，所以e，故选B.7(2020宁波市余姚中学高三期中)已知曲线1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是_；当曲线表示双曲线时k的取值范围是_解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2k2，所以k1或k2；当曲线表示双曲线时，k2k0，所以0k1.答案：k1或k20k18(2020金华十校联考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则P到x轴的距离为_解析：F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为|x0|2.答案：29(2020瑞安四校联考)设双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与直线x分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若60AFB90，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析：双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设A，B，因为60AFB90，所以kFB1，所以1，所以1，所以1，所以1e213，所以e0，b0)，所以渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r3.所以3，得a3，b4，所以双曲线G的方程为1.12已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m，2m)，B(n，2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，因为tan2，则tan ，从而sin 2.又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn2.综合题组练1(2020舟山市普陀三中高三期中)过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若，则双曲线的离心率是()A. B.C. D.解析：选C.直线l：yxa与渐近线l1：bxay0交于点B，l与渐近线l2：bxay0交于点C，A(a，0)，所以，因为，所以b2a，所以c2a24a2，所以e25，所以e，故选C.2(2020宁波高考模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，则C1与C2的离心率之和为()A2 B4C2 D2解析：选A.F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，且AF1O，可得A，B，代入椭圆方程可得1，可得1，可得e48e240，解得e1.代入双曲线方程可得：1，可得：1，可得：e48e240，解得e1，则C1与C2的离心率之和为2.故选A.3设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2x轴时，将x2代入x21，解得y3，所以|PF2|3，所以PF15，所以|PF1|PF2|有最大值8；当P为直角时，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c216，又因为|PF1|PF2|2，两边平方得(|PF1|PF2|)24，所以|PF1|PF2|6，解得|PF1|1，|PF2|1，所以|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)答案：(2，8)4(2020温州十五校联合体联考)过点M(0，1)且斜率为1的直线l与双曲线C：1(