（浙江专用）高考数学第九章平面解析几何4第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系教学案.docx

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切()(3)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修2P128练习T4改编)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是_解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以，即|a1|2，解得3a1.答案：3，12(必修2P133A组T9)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_解析：由得两圆公共弦所在直线为xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2.答案：2易错纠偏(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；(2)忽视切线斜率k不存在的情形；(3)求弦所在直线的方程时遗漏一解1若圆x2y21与圆(x4)2(ya)225相切，则常数a_解析：两圆的圆心距d，由两圆相切(外切或内切)，得 51或51，解得a2或a0.答案：2或02已知圆C：x2y29，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为_解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k(x3)，所以kxy13k0，所以3，所以k，所以切线方程为4x3y150.综上，切线方程为x3或4x3y150.答案：x3或4x3y1503若直线过点P且被圆x2y225截得的弦长是8，则该直线的方程为_解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x3，代入圆的方程得y4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心到直线的距离d，则28，解得k，所以直线方程为3x4y150.综上所述，所求直线方程为x3或3x4y150.答案：x3或3x4y150直线与圆的位置关系 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定(2)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)1，即1，解得k(，)【答案】(1)B(2)k(，) (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2y21上”，则直线axby1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2b21，所以圆心O到直线axby1的距离d1，则直线与圆O相切提醒上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 (2020衢州模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目主要命题角度有：(1)求圆的切线方程；(2)求弦长及切线长；(3)由弦长及切线问题求参数角度一求圆的切线方程 过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70【解析】因为过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，因为圆心与切点连线的斜率k，所以切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.故选B.【答案】B角度二求弦长及切线长 (1)若a，b，c是ABC三个内角的对边，且csin C3asin A3bsin B，则直线l：axbyc0被圆O：x2y212所截得的弦长为()A4 B2C6 D5(2)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_【解析】(1)因为，故由csin C3asin A3bsin B可得c23(a2b2)圆O：x2y212的圆心为O(0，0)，半径为r2，圆心O到直线l的距离d，所以直线l被圆O所截得的弦长为226，故选C.(2)由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数 (1)已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D2(2)(2019高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_【解析】(1)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0，1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2.(2)法一：设过点A(2，1)且与直线2xy30垂直的直线方程为l：x2yt0，所以22t0，所以t4，所以l：x2y40.令x0，得m2，则r.法二：因为直线2xy30与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(2，1)，所以21，所以m2，r.【答案】(1)D(2)2(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|x1x2|.(2)圆的切线方程的求法几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k. 1直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C， D.解析：选B.如图，设圆心C(2，3)到直线ykx3的距离为d，若|MN|2，则d2r2431，即1，解得k.2(2020温州中学高三期末)若经过点P(3，0)的直线l与圆M：x2y24x2y30相切，则圆M的圆心坐标是_；半径为_；切线在y轴上的截距是_解析：圆的标准方程为(x2)2(y1)22，则圆心坐标为(2，1)，半径R，设切线斜率为k，过P的切线方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心到直线的距离d，平方得k22k1(k1)20，解得k1，此时切线方程为yx3，即在y轴上的截距为3.答案：(2，1)33(2020杭州市学军中学高三模拟)已知直线l：mxy1，若直线l与直线n：xm(m1)y2垂直，则m的值为_，动直线l：mxy1被圆C：x22xy280截得的最短弦长为_解析：由题意得mm(m1)0m0或m2；动直线l：mxy1过定点(0，1)，而动直线l：mxy1被圆C：(x1)2y29截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，1)，此时弦长为22.答案：0或22圆与圆的位置关系 (1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离(2)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A. B.C. D2【解析】(1)由得两交点为(0，0)，(a，a)因为圆M截直线所得线段长度为2，所以2.又a0，所以a2.所以圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0，2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1，1)，半径r21，所以|MN|.因为r1r21，r1r23，1|MN|0，则C，所以圆C的方程为(ya)2a2，由得所以(5a，2a)2a24a0，所以a3或a1，又a0，所以a3，所以点A的横坐标为3.法三：因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BAD45.设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.【答案】3本题法一，把0的数量关系，转化为CDAB，进而推出BAD45，结合图形得出直线AB的斜率，体现核心素养中的直观想象 基础题组练1已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4B3C2 D1解析：选C.(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线xy1的距离d1r，所以直线与圆相交2直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是()A，B2，2C1，1D21，21解析：选D.圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d，若直线l与圆C恒有公共点，则2，解得21m21，故选D.3若圆x2y2a2与圆x2y2ay60的公共弦长为2，则a的值为()A2 B2C2 D无解解析：选A.圆x2y2a2的圆心为原点O，半径r|a|.将x2y2a2与x2y2ay60左右分别相减，可得a2ay60，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2ay60.原点O到直线a2ay60的距离d，根据勾股定理可得a2()2，所以a24，所以a2.故选A.4(2020台州中学高三月考)若直线ykx42k与曲线y有两个交点，则k的取值范围是()A1，) B.C. D(，1解析：选B.曲线y 即x2y24(y0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示直线ykx42k即yk(x2)4，表示恒过点(2，4)，斜率为k的直线，结合图形可得kAB1，因为2，解得k，即kAT，所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是.5圆C：x2y2DxEy30(D0，E为整数)的圆心C到直线4x3y30的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|4，则E的值为()A4 B4C8 D8解析：选C.圆心C.由题意得1，即|4D3E6|10，在圆C：x2y2DxEy30中，令y0得x2Dx30.设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1x2D，x1x23.由|MN|4得|x1x2|4，即(x1x2)24x1x216，(D)24(3)16.因为D0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则当t取得最大值时，点P的坐标是()A. B.C. D.解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，0，即(at)(at)b20，a2t2b20，所以t2a2b2|OP|2，|OP|max213，即t的最大值为3，此时kOP，OP所在直线的倾斜角为30，所以点P的纵坐标为，横坐标为3，即P.7(2020浙江高中学科基础测试)由直线3x4y50上的一动点P向圆x2y24x2y40引切线，则切线长的最小值为_解析：当直线上的点到圆心(2，1)的距离最短时，切线长最小此时，圆心到直线的距离d3，r1，所以切线长为2.答案：28(2020杭州七校联考)已知圆C：(x3)2(y5)25，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2 ，则直线l的斜率k_解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|PA|AC|3，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|3，|PC1|6.记直线l的倾斜角为，则有|tan |2，即k2.答案：29已知圆C：(x1)2(y2)22，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为_解析：已知圆C：(x1)2(y2)22，所以圆心为C(1，2)，半径r，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PCAB.在PAC中，APC30，由正弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值为2.答案：210(2020绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x3y50及y10均相切，则|O1O2|_解析：如图，因为原点O到直线4x3y50的距离d1，到直线y1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，设O2(a，b)，则由题意：，解得.所以|O1O2|.答案：11(2020浙江省名校协作体高三联考)已知圆C：(x1)2y29内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长解：(1)已知圆C：(x1)2y29的圆心为C(1，0)，因为直线过点P，C，所以kPC2，直线l的方程为y2(x1)，即2xy20.(2)当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2x2，即xy0，圆心C到直线l的距离为，又因为圆的半径为3，所以弦AB的长为.12圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2，1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|2，所以r2|O1O2|r122.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)24，相减得AB所在的直线方程为4x4yr80.设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|.又|O1H|，所以，解得r4或r20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.综合题组练1两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR且ab0，则的最小值为()A1 B3C. D.解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(xa)2y24和x2(y2b)21，圆心分别为(a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有3，即a24b29，所以(144)1.当且仅当，即|a|b|时取等号，故选A.2在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A. B0，1C. D.解析：选A.因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.3(2020浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，则圆C：x2y26x2y0关于直线l对称的圆C的方程为_；圆C与圆C的公共弦的长度为_解析：由题设将圆C：x2y26x2y0中的x，y换为y1，x1可得圆C的方程为(y1)2(x1)26(y1)2(x1)0，即x2y24x4y20，也即(x2)2(y2)210；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为xy10，圆心C(2，2)到该直线的距离d，半径r，故弦长L2.答案：(x2)2(y2)2104已知抛物线C：y22x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2.由可得