《数与式》专题教案 教师版

数与式专题教案 教师版 数与式知识点（一）（一）实数的有关概念 （1）实数的分类?正整数?整数?零?负整数?有理数?实数?正分数?分数?负分数?无理数无限不循环小数当然还可以分为正实数、零、负实数。 有理数还可以分为正有理数，零，负有理数 （2）数轴数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是 一、一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础，我们还可以利用这种 一、一对应关系来比较两个实数的大小。 （3）绝对值?a(a?0)?绝对值的代数意义|a|?0(a?0)?a(a?0)?绝对值的几何意义一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数实数a的相反数记为a，非零实数a的倒数记为若a、b两个数为互为相反数，则a+b=0。 若m、n两个数互为倒数，则mn=1。 （5）三种非负数|a|，a2，a(a?0)都表示非负数。 “几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。 （6）平方根、算术平方根、立方根的概念。 （7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。 1，零没有倒数。 a（二）实数的运算实数的六种运算及整数指数幂的运算是初中学习数学的基本能力，也是后续学习的重要基础。 准确的运算有赖于运算法则、运算顺序和运算律的熟练掌握。 （三）和代数式有关的概念及代数式的运算。 （1）代数式的分类?单项式整式?有理式?多项式代数式?分式?无理式? （2）各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、根式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式。 （3）代数式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负，由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。 （4）代数式的运算整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。 分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。 二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。 （四）代数式的恒等变形添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具。 待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。 （五）代数式的化简求值含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。 再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。 数与式知识点（二）?定义有理数和无理数统称实数.?分类?有理数整数与分数?无理数常见类型(开方开不尽的数、与?有关的数、无限不循环小数）?实数?实数运算?法则加、减、乘、除、乘方、开方?运算定律交换律、结合律、分配律?数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法?相关概念:?有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a2，a,a)?单项式系数与次数?分类?多项式次数与项数?加减法则?加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项?m n m?n mn m?nmn mnam01?m mmam?p?a?a?a;a?a?a;(a)?a,(ab)?a b;()?m;a?1;a?幂的运算:?b ba p?整式?单项式?单项式；单项式?多项式；多项式?多项式?乘法运算:?单项式?单项式；多项式?单项式?混合运算先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先?平方差公式?(a?b)(a?b)?a2?b2?乘法公式?完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2?分式的定义分母中含可变字母?分式?分式有意义的条件分母不为零?分式值为零的条件分子为零，分母不为零?数与式?aa?m a a?m?分式;?(通分与约分的根据）?分式的性质?b b?m b b?m?通分、约分，加、减、乘、除?分式的运算?先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）?化简求值?整体代换求值?定义式子a(a0)叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于.0.?a(a?0)?22?二次根式的性质(a)?a;a?a(a?0)?最简二次根式（分解质因数法化简）?二次根式?二次根式的相关概念?同类二次根式及合并同类二次根式?分母有理化（“单项式与多项式”型）?加减法先化最简，再合并同类二次根式?二次根式的运算?a a?乘除法a?b?ab;?；（结果化简）?bb?定义（与整式乘法过程相反，分解要彻底）?提取公因式法（注意系数与相同字母，要提彻底）?平方差公式a2?b2?(a?b)(a?b)?分解因式?公式法?222方法?完全平方公式a?2ab?b?(a?b)?2?十字相乘法x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)?分组分解法（对称分组与不对称分组）?【典型例题】?，?，0.8010，1，4中，无理数的个数为(在?2，0.31例1.在37A.1B.2C.3D.4)分析应当知道，只有无限不循环的小数才是无理数，有限小数0.80108，无限循环小?和分数1都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如4数0.317?2，所以4不是无理数，而是有理数，故本题应选(B)正确。 例2.已知下列5个命题 （1）零是最小的实数 （2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 (4)?11的立方根是273 （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4分析 （1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义 （2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点 （3）“任何数?”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。 因此可以得出5个命题中只有 （2）是真命题，故选A。 例已知x、y、z是实数，且满足(x?4)2?|y?2z|?z?1?0，求x?yz的值。 解(x?4)2?0，|y?2z|?0，z?1?0又(x?4)2?|y?2z|?z?1?03.?(x?4)2?0?|y?2z|?0即?z?1?0?x?4?0?y?2z?0?z?1?0?x?4，y?2，z?1当x?4，y?2，z?1时，x?yz?4?21?6注意这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x、y、z的值，从而使问题得解。 例4.计算()?1?(xx?2)0?(?2)21311?162?1解原式?3?1?4()2?142?1(2?1)(2?1)?2?412?1?2?1?2?1?2?4?4 (2)2?12?P归纳 (1)注意负指数的意义a11?()P或a?P?P aa其中a0，P是正整数，在本题中，()?1?131?313 (2)任何非零实数的0次方等于1，在本题中，xx?20，故(xx?2)0?1例5.x?1时，代数式px?qx?1的值为xx，则当x?1时，代数式px?qx?1的值为（）解当x?1时，代数式px?qx?1的值为p(?1)?q(?1)?1?p?q?1?xx故当x?1时，px?qx?1的值为p(?1)?q(?1)?1?(p?q)?1?(p?q?1)?2?(xx?2)?1999333333x2?x?22x2?x?32x2?9x?9例6.计算22x?4x?4x2?4x?2x?xy?2y解原式?(x?1)(x?2)(2x?3)(x?1)(x?3)(2x?3)(x?2)(x?2)(x?y)(x?2)(x?2)2?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)?x?3?(2x?3)x?3?2(2x?3)(x?1)(x?y)(x?2)x?y(x?2)归纳对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。 实战演练 一、选择题1.下列各组数中，相等的是_A.(?1)3和12B.(?1)2和1C.(?1)和1D.?(?1)和|?1|2.设a，b为两实数，则下列命题中是假命题的是_A.若a+b=0，则|a|=|b|B.若|a|+|b|=0，则a=b=0C.若a+b=0，则a=b=0D.若|a+b|=0，则a=b=03.一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_A.8.64104秒B.86.4103秒C.86.4102秒D.228.64105秒4.如果2（x+3）的值与3（1x）的值互为相反数，那么x等于_A.95.已知x mB.2C.3D.43m?2n（其中x0，m、n为正整数），则x的值等于_?a，x n?b，A.3a?2b B.a?b33C.a b32a3D.2b6.若a0，代简|a|?a2的结果正确的是_A.0B.2a0?1C.2a D.2a或2a7.化简(?3)?2的结果为A.12B.2C.?1D.3228.如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a?b|?(a?b)的结果等于_A.2a B.2bba C.2a0D.2b9.已知|x|?3，|y|?2，且xy?0，则x?y的值等于_A.5或510.数轴上表示?A.?B.1或1C.5或1D.5或1121的点到原点的距离是_21B.C.2D.22211.已知二次三项式2x?bx?c分解因式为2(x?3)(x?1)，则b、c的值为_A.b?3，c?1B.b?6，c?2C.b?6，c?44D.b?4，c?6412.已知a+b=3，ab=1，则a?b的值是_A.72B.47C.49D.8113.将a?ab?ac?bc分解因式，结果正确的是_A.(a?b)(a?c)B.(a?b)(a?c)C.(a?b)(a?c)D.(a?b)(a?c)214.已知xy0，则x y化简后为_A.x y 二、填空题B.?x yC.x?y D.?x?y1.若实数m，n满足(m?1)2?n?3?0，则m=_，n=_2.将207670保留三个有效数字，其近似值是_3.x平方的3倍与5的差，用代数表示为_4.如果a?ma?9是一个完全平方式，则m=_5.如果分式2x?3无意义，则x=_x?2x2?7x?86.如果分式的值为0，则x=_x?1x?11(1?)?_x xx?28.若代数式的值等于零，则x=_；x?27.计算若代数式(x?2)(x?1)的值等于零，则x=_9.已知112x?3xy?2y的值为_?3，则分式x yx?2xy?y11?3，则a2?2?_aa10.已知a? 三、解答题x2?1x?2x?2?1.计算2x x?1x?111?2a?a2a2?2a?12.已知a?的值。 ，求?2a?1a?a3a2?b2?ab的值。 3.若a?b?2，求24.若3?a?4，化简a2?6a?9?|a?4|5.已知多项式x?kx?7能分解成两个一次因式的乘积，求k的值。 6.计算()(?1)?(?)?222232122321(?15.2)227.若x、y满足x?y?4x?2y?5?0，则代数式3x y?x的值是多少？8实数P在数轴上的位置如图所示化简