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让学生在“体验”中学习数学 第五章相交线与平行线的数学活动教学片断及评析湖北省郧县茶店中学 张启兵 九年义务教育数学课程标准提出：学生的数学学习要有他们自己的参与，在体验中学习，借助学生已有的知识和经验在亲身体验中学习数学知识。这就为教师和学生提供了如何进行教与学的活动可借鉴的方法。著名的数学教育家弗赖登塔尔称数学的美是“冰冷的美丽”，因为数学教学的内容都是经过抽象以后的“形式化”的材料。而我们知道，只有学生学习的数学内容是现实的、有意义的、富有挑战性的时候，才有利于他们主动地参与到观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动中来。所以，在教学中我们应让这“冰冷的美丽”回到“真实的情境”中去，以便使学生在解决这一“真实”的问题时，体验到数学的存在，进而学会思考，学会交流，学会“再创造”。同时也使学生对数学产生一种亲切感，进而创造性地获取知识。因此，教师在数学教学中，应给学生提供充分体验的“再创造”的机会，尽可能多地为学生设置体验活动的平台，让学生借助自己的体验来研究问题，使学生的数学意识、合作意识、探究能力在对数学实际问题的探究活动中得到培养和发展。人教版新课标教材为学生的体验提供了很大的空间，许多教学素材可以成为学生体验把数学与生活结合起来的载体。下面是笔者在教授第五章相交线与平行线的数学活动时的片断及感悟。1活动1、你能画出你上学的路线图吗？11创设情境、提出问题师：在钟祥一中建校100周年之际，我作为大家的老校友，又回到母校与大家共同学习，我感到非常高兴。今天，我带来了我的工作单位钟祥五中至钟祥一中的路线图。请看大屏幕（多媒体展示），沿途经过两个标志性的建筑物市财政大楼和中百商场。那么，你能画出你上学的路线图吗？北钟祥一中中百商场财政大楼钟祥五中生（齐）：能【点评】独具匠心的开场白，贴近学生的生活问题，激活了学生的学习兴趣。12尝试交流、解决问题师：请动手，看谁画得又快又准确(所画路线图贴近学生的生活经验，学生都能仿照老师的示范画图)师：我观察到大家画得很不错。我为母校有你们这样的学生感到骄傲。哪些同学愿意到前面来展示你所画的路线图？上来展示的同学请注意结合你所画的路线图简单说明你用到的数学知识。生1：我家住在农业局，出农业局大门向南走200米，经过电力大厦的右拐，再经过莫愁小学到达学校。我用到的数学知识是：用点表示建筑物，用平行线表示路。 一中农业局电力大厦莫愁小学生2：我家住在邮电局，穿过阳春广场，经过政府大楼，就可到达学校。我用到的数学知识是：根据比例尺适当缩小图形。邮电局政府大楼一中生3：我家住在农村九里乡，乘车经过南湖渔场，在第一个红绿灯处右拐进入市区，再 经过建设银行到达学校。我用到的数学知识是：根据上北、下南、左西、右东标识方位。 北九里乡南湖渔场一中建设银行红绿灯师：根据以上几位同学画路线图所用数学知识，你们认为画路线时要注意什么问题？生4：标出上学途中经过的标志性的建筑物，建筑物可以用点表示。生5：指明方向和比例尺。师：综合以上同学们说法和做法，画路线图时，我们应该考虑以下几个问题：方向，定位（起点和终点），比例尺（将实际距离转化为图上距离）。【点评】学生由自己的生活经验出发，都可以动手画图，再经过全班交流，明确画路线图要注意的问题。从而使学生学习必需的数学,不同的学生得到不同的发展。学生经历画路线图的过程，体验数学知识的应用，为引出平行线的画法做准备。2活动2、你有多少种画平行线的方法？21提出问题师：同学们在画路线图时，都提到道路要用平行线表示，那么如何较准确的画平行线呢？(部分同学在下面窃窃私语，还有些同学在动脑筋思考着。)【点评】在“活动一”中学生经历动手画平行线的过程，对“画平行线”有了一些感性认识，在此，进一步提出研究平行线的画法，促使学生由感性认识向理性认识过渡。22动手研究师：看来许多同学已经知道如何画平行线，好！我们一起来研究，请看大屏幕：过直线a外一点P，画直线a的平行线，你有多少种画法？先独立思考，然后借助必要的画图工具（如直尺、三角板、量角器、圆规等）动手画一画，画图时，保留画图痕迹，并且适当标注字母。（学生有前面学习的知识可以发现一些作平行线的方法，一时都在动手画。）（教师在各小组巡视并参与指导学生动手研究。）23小组交流师：好！有这么多同学已经找到画平行线的方法，下面就请大家在小组内把你们的画法说一说，同时听听其他同学的意见，互相取长补短。（学生在组内交流着平行线的画法，有的学生在分类归纳，以便在全班交流，还有的学生在小声争吵哩。）24交流答辩师：刚才同学们讨论的很热烈，肯定有不少好的画法，大家想知道吗？哪些同学愿意代表你们的小组上来展示你们的画法，带好画图工具和画好的图形。（生6带着画好的图形和工具来到展台前）师：请注意，现在老师和大家有一个约定，上面的同学在展示他的画法时，我们要认真听、仔细看，在他汇报完一种画法后，我们就可以针对他画的图提出问题，然后由汇报的同学给予说明【点评】为了给学生充分表现的机会，教师在学生动手画图结束后，组织学生进行研究汇报，在全班开展辩论活动，使学生在辩论中暴露思维，达到思维碰撞的目的。生6（第6小组的代表）：我们小组共有三种画平行线的方法，展示如下：APaCBDE（1）aPA（2）aABPD（3）第一个图的画法是：过点P作为一条直线与直线a相交于点A，再以P为顶点，在直线AP的右侧作DPE，使DPEBAC那么PEa。第二个图的画法是：将直角三角板的一条直角边放在直线a上，沿直线a平移三角板到另一个位置，记下顶点的位置A，那么PAa。第三个图的画法是：过点P 作PA垂直于a，垂足为A，在直线a上另取一点B，过点B作BC垂直于a，在BC上截取BD，使BDAP。过点P、D作直线 PD，那么 PDa。师：大家对生6的汇报有什么疑问吗?生7：请你解释一下，为什么你那样样画的直线就能平行?你们的依据是什么？生6：第一种画法是根据“同位角相等，两条直线平行”；第二种画法是根据“平移的性质”，也就是“对应点的连线互相平行”；第三种画法的根据我说不出来，但我知道它们是平行的。师：其他小组的同学能帮他解释吗？生8：这样画的根据是“平行线间的距离处处相等”。生9：因为四边形PABD是长方形。师：以上两位同学的解释都有道理，我们还可以用“平移的性质”来解释，线段DB可以看作是由线段AP沿直线a向右平行得到的，请看动画演示（教师利用电脑演示动画）。 师：同学们对生6的汇报还有其他问题吗?生10：我还有一种与生6第一种画法类似的画法，（上台展示，如图）我画的是内错角CPA，使CPABAP，根据是“内错角相等，两直线平行”。类似地，我还可以画DPA，DPABAP180，根据“同旁内角互补，两直线平行”画平行线。（说着展示着） 师： 也就是说，我们既可以根据“同位角相等，两直线平行”画平行线，也可以根据“内错角相等，两直线平行”画平行线，还可以根据“同旁内角互补，两直线平行”画平行线。生11：我认为生6的第二种画法有问题，如果点P到直线a的距离与三角板的直角边的边长不相等，就不能用这种方法了。师：生6你认为呢？ （问题好象有点难，生6思考了一会，还是不能解决，此时，生6所在小组的一位同学起来了。）生6所在小组的一位同学：不错，但可以在三角板的同一刻度处标记，然后平移，就可以解决你所提出的问题。师：大家还有疑问吗？（教室内非常安静，看来无人举手提问了。突然，一名学生站起来。）生12：请问生6，在你的第一种的画法中，是如何画DPE=BAC？生6：这个画法在七年级就有了。以点A为圆心，任意长为半径画弧，交射线AP于点B，交直线a于点C，再以P为圆心，保持半径不变画弧，再以E为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D，那么DPE=BAC。（生6边示范边解说）DAPaCBE生12：为什么这样画的两个角就相等呢？（生6一时语塞，不知所措。显然这个问题也出乎教师意料之外，短暂的停顿之后，由于要用到全等三角形的知识，显然学生由现在的知识是无法解决的，此时教师给予引导。）师： 生12是个善于思考，善于发现问题的同学。我帮生6回答，解释这个问题需要用到以后学习的知识，请生12和全班同学在以后的学习中关注这个问题，直到这个问题的解决。（教师的课堂机智解决了一个意料之外的问题。）师：其他小组还有不同的画法吗？生13（第二小组的代表）：我们小组还有两种画法（上台展示）（2）(1)PAPBaAa第一种画法是：过点P作直线a的垂线PA，再过点P作直线PA的垂线PB，那么PBa。第二种画法是：不过点P做直线a的垂线AB，过点P作直线AB的垂线PA，那么PCa。 生7：你这样画图的根据是什么？生13：垂直于同一条直线的两直线平行。师：还有其他的画法吗？（教室内一片沉静）如果在一张半透明的纸上，有一条直线a和直线a外一点，你能用折纸的方法过点P画直线a的平行线吗？（教师发给学生课前准备好的半透明的纸，学生拿到纸后，有的学生在沉思，有的学生在动手尝试，有的学生在小声地讨论。不一会，有一位学生举起了手。）生14：（走到展台前）我是这样折的：过点P折叠，并且使直线a被折痕分成的左右两部分重合，再过点P折叠。是第一次折叠得到的折痕上、下两部分重合，那么第二次得到的折痕与直线a平行。师：你能解释一下为什么这样做得到的直线与直线a平行？生14：第一次折叠，使AB与AC重合，可得到PAC=900，第二次折叠使PE与PA重合，可得到FPE=900，根据“同位角相等，两直线平行”可得到DEBCFEPCBA【点评】借助折纸的经验，引导学生体会自己生活经验中常见的现象，从中获得解决问题的好方法，再与学习的数学知识联系起来，使学生经历建模的过程。25 归纳总结师：同学们找到了多种画平行线的方法，它们有什么共同点?我们来一起归纳一下，先看第一组图形 ，它们有什么相同点？第一个图是通过平移三角尺画平行线，第二个图是通过画一个角等于一个已知角画平行线。 生15：它们都通过画一个角等于已知角来画平行线，在位置上可以是内错角，也可以是同位角。APl（生13的画法一） BPAl （生13的画法二）FECAPB（生14的折纸法） 师：再看第二组图形。它们有什么相同点？生16：它们都属于垂直于同一条直线的两直线的平行师：我们经过以上比较可以发现：平行线的画法离不开两直线平行的条件，因此，由两直线平行的条件可以联想到平行线的画法（板书）。26 应用举例师：画平行线的方法在生活中有着广泛的运用谁能列举一些生活中的例子？生17：体育教师画跑道。生18：办黑板报画网格线。生19：工人师傅往墙上贴瓷砖。生20：画过马路的斑马线。师：老师也收集了一些美丽的图案，它们的制作都与画平行线有关（电脑显示图案）。 师：同学们欣赏这些美丽的图案后，相信大家对平行线的画法，又有了新的认识，请大家帮助老师解决这样一个问题：这是老师自己制作的英语抄写本的一部分，你能把剩下的横格线补充完整吗？生21：先作一条和横格线垂直的直线AB，再将线段三等分点C、D，过C、D分别作AB的垂线。DBCA师：这节课同学们表现得很出色，有些同学善于发现问题，有些同学善于表达自己的观点，谁愿意起来谈谈这节课你有什么收获？生22：我学会了多种画平行线的方法：比如，通过平移三角尺画平行线；通过画一个角等于已知角画平行线；通过折纸的方法画平行线；通过画垂线的方法画平行线。生23：由两直线平行的条件可以联想到平行线的画法。生24：画路线图的方法。【点评】学习之后，教师引导学生对学习的知识加以归纳总结，找到知识的内在联系，使学生知道方法的发源点来源于教材中的学习。27拓展延伸（活动三）ABDBACDABCDCDABC师：大家谈了很多收获，事实上在生活中有许多美丽图案的设计也用到有关平行的知识。请看大屏幕：用如下方法，在一个正方形上可以非常简单的画出一匹马。（教师操作电脑演示画图过程）首先画一个正方形ABCD，在顶点A、B之间划一条折线，将折线沿BC向右平移，使点A、B分别与点D、C重合，再在顶点A、D之间画一条折线，将折线沿DC向下平移，使点A、D分别与点B、C重合。可以看出，在这些图案的绘制过程中同样要用到画平行线。这样就得到一幅“飞马图”。继续平移“飞马图”，可以得到以下图形这个图形有什么特点？生21：白色部分是马，蓝色部分也是马。师：今天，我们的作业就是利用画平行线的方法和平移的知识，设计一幅美术作品。【点评】课堂早已不再是知识获取的唯一途径，让学习在课堂之外延续，让新知在课后延伸。 评析：数学新课程标准多处提到“体验”一词，就是指学习数学知识或解决问题时，要让学生根据已有的经验来建构自己数学知识体系，借助体验发现数学知识，准确的解决问题。而实际教学中，我们教师在很大程度上不是这样的，往往是借助教师自己的“体验”，从教师自己理解的角度入手，为学生解决问题。这样，就难免出现教师讲、学生练的教学局面，或者教师用自己的“体验”取代了学生的“体验”，致使学生学习的数学知识枯燥无味，越来越讨厌数学。那么，面对教学中这样尴尬的问题，究竟谁的“体验”能解决问题呢？上面的教学活动已经做了回答：（1）设计的数学教学活动要给学生留下“体验”的机会上述对教材三个活动的设计上，打破活动设置的顺序，从一开始就注重从学生的生活体验入手，设计了一个重要的环节：师生共同走进生活，让学生从生活中获得体验的机会，由体验获得“经验”，进一步解决问