《高职应用数学》（教案）

高职应用数学（教案） 高职应用数学教案课程名称高职应用数学总学时64课程章节第1章基础知识课时分配8教学目标1掌握指数、对数、方程、不等式等代数基础知识2理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法3掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性4把实际问题抽象概括为函数问题教学重点、难点1.理解函数的概念2.能把实际问题抽象概括为函数问题授课方式讲授法，板书教学内容1.1代数基础知识1.2函数1.3建立函数关系教学过程1.1代数基础知识 一、指数幂及其运算 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂nna a a a a?个(n为正整数) （2）零指数幂01a?(0a?) （3）负整数指数幂1nnaa?(0a?，n为正整数) （4）整数指数幂的运算法则(0a?，0b?，m，n为整数)m n m na a a?；()m nm na a?；()n n na ba b?；mm nnaaa? 2、分数指数幂1）n次根式一般地，如果nx a?(a?R，1n n?N且)，则称x为a的n次方根 （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作na （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用na?和na表示，其中na称为a的n次算术根；负数没有偶次方根 （3）0的n次方根是0，记作00n?我们把形如na(a?R，1n n?N且)的式子称为n次根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数2）分数指数幂定义mnmna a?，1mnnmaa?为分数指数幂，其中1，且m nn?N整数指数幂的运算法则对有理数指数幂也适用，前提是必须使运算法则中出现的每一个有理数指数幂都有意义，即当p q，为有理数时，有p qp qa a a?，()p qpqa a?，()p p pa ba b? 二、对数及其运算 1、对数的概念如果 (01)ba N a a?且，那么b称为以a为底N的对数，记作log a b N?其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数通常，我们称形如ba N?的等式为指数式，称形如log aNb?的等式为对数式由对数的定义可知，当01a a?且时，logbaa NN b?性质 （1）零和负数没有对数，即0N?； （2）log10a?，即1的对数为0； （3）log1a a?，即底的对数为1 2、积、商、幂的对数设pa M?，qa N?，则log ap M?，log aq N?因为p qp qM N a a a?，所以log()log()log logp qa a a aMNapqMN?当01a a?且时，对数的运算法则log()log loga a aMN MN?log logloga aaMM NN?log lognaaM nM? 三、方程 1、直线方程一次函数2y x?的图像是一条直线l，其解析式2y x?可以看作一个关于x y，的二元一次方程，直线l上的任意一点()x y，都满足方程2y x?此时，我们把方程2y x?称为直线l的方程1）直线的点斜式方程已知直线l经过点000()P x y，且斜率为k设点()P x y，为直线l上不同于点0P的任意一点，由斜率公式可得00y ykx x?，得00()y yk x x?点000()P xy，也满足上述方程由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程2）直线的斜截式方程设直线l与x轴交于点 (0)A a，与y轴交于点 (0)B b，则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）；b称为直线l在y轴上的截距（或纵截距）设直线l与y轴的交点为 (0)B b，且直线l的斜率为k，则直线l的方程为 (0)y bk x?，即y kx b?3）直线的一般式方程把形如0Ax By C?（A B，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程 2、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个数（一元），并且数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程一元二次方程的一般形式为20 (0)ax bx c a?1）公式法一般地，式子24b ac?称为一元二次方程20ax bx c?根的判别式，通常用希腊字母“?”表示，即24b ac?当0?时，方程20 (0)ax bx c a?的实数根可写为242b b acxa?若0?，方程20 (0)ax bxc a?有两个不相等的实数根，即242b b acxa?；若0?，方程20 (0)ax bxc a?有两个相等的实数根，即122bx xa?；若0?，方程20 (0)ax bxc a?无实数根2）因式分解法设物体经过x s后落回地面，这时它离地面的高度为0m，即2104.90x x?此方程的左边可以因式分解，得(104.9)0x x?这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积等于0所以0x?或104.90x?于是，方程的两个根为10x?，21002.0449x? 四、不等式 1、不等式的概念及基本性质用不等号（?，?，?，?）表示不等关系的式子称为不等式性质1（传递性）如果a b?，b c?，则a c?性质2（加法性质）如果a b?，则a cb c?性质3（乘法性质）如果a b?，0c?，则ac bc?；如果a b?，0c?，则ac bc? 2、含有绝对值的不等式1）x a?或x a?型不等式对于任意实数x，都有|0x，并且0|000，x xx xx x?|x的几何意义为数轴上表示实数x的点到原点O的距离由绝对值的几何意义可知，不等式|3x?表示的是数轴上到原点的距离小于3的所有点的集合；不等式|3x?表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合不等式|3x?的解集为 (33)?，；不等式|3x?的解集为 (3) (3)，?一般地，不等式| (0)x aa?的解集为()aa?，；不等式| (0)x aa?的解集是()()，aa?2）ax bc?或ax bc?型不等式对于|ax bc?或| (0)ax bc c?型不等式，可以把ax b?看成一个整体，从而转化为|x a?或| (0)x aa?型不等式来求解例如，求解不等式|23|1x?时，可先设23m x?，则不等式|23|1x?化为|1m?，其解集为11m?，即1231x?根据不等式的性质，可以求出12x?，即原不等式|23|1x?的解集为 (12)， 3、区间的概念1）有限区间实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合?|32x x?可以用数轴上位于3?与2之间的一条线段（不包括端点）来表示由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间集合?|32x x?表示的就是开区间，记作 (32)?，集合?|32x x?剟表示的就是闭区间，记作32?，只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合?|32x x?表示的区间就是右半开区间，记作32)?，；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，集合?|32x x?表示的区间就是左半开区间，记作(32?，综上所述，设a，b为任意实数，且a b?，则有开区间?|()x a x ba b?，数集区间；闭区间?|x ax ba b?，数集区间剟；右半开区间?|)x ax ba b?，数集区间?；左半开区间?|(x ax ba b?，数集区间?以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间2）无限区间集合?|3x x?可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-6所示由图可以看出，集合?|3x x?所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作 (3)，?，其中符号“?”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数同理，集合?|5x x?表示的区间可记作 (5)，?，其中符号“?”读作“负无穷大”类似地，集合?|3x x表示的区间记作3)，?，是右半开区间；集合?|5x x?表示的区间记作(5，?，是左半开区间设a，b为任意实数，且a b?，则有 （1）?|()，数集区间x x aa?； （2）?|()，数集区间x x b b?； （3）?|)，数集区间x x aa?； （4）?|(，数集区间x x b b?； （5）实数集R如果用区间来表示，可以记作()，?以上这5种区间统称为无限区间 4、邻域的概念设点a与?是两个实数，且0?，则称集合|x x a?为点a的?邻域，记作()U a?，其中将a称为邻域中心，将?称为邻域半径有时还要用到去掉中心的邻域，即集合0|x x a?，称为点a的?去心邻域，记作o()U a?， 5、一元二次不等式只含有一个数，并且数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为2()0ax bxc?或2()0ax bxc? (0)a?当240b ac?时，方程20 (0)ax bxc a?有两个不相等的实数解1x和2x（12x x?），对应函数2 (0)y ax bxc a?的图像与x轴有两个交点，即1 (0)x，2 (0)x，此时不等式20 (0)ax bxc a?的解集为12()()，x x?，不等式20 (0)ax bxc a?的解集为12()x x，当240bac?时，方程20 (0)ax bxc a?有两个相等的实数解0x，对应函数2 (0)y ax bxc a?的图像与x轴只有一个交点，即0 (0)x，此时不等式20 (0)ax bxc a?的解集为00()()，x x?，不等式20 (0)ax bxc a?的解集为?当240bac?时，方程20 (0)ax bxc a?没有实数解，对应函数2 (0)y axbxca?的图像与x轴没有交点此时不等式20 (0)axbxca?的解集为R，不等式20 (0)axbxca?的解集为?1.2函数 一、函数的概念与性质 1、函数的概念设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为()y f x?，x D?，其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量对于确定的0x D?，与之对应的0y称为函数()y f x?在0x处的函数值，记作000()x xyy f x?当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数()y f x?的值域，记作M，即?()M yy f x x D?，定义域函数的两要素对应法则解析法函数的表示方法表格法图示法 2、函数的性质1）单调性设函数()y f x?在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点12x x，当12x x?时，有12()()f x f x?，则称()y f x?在区间I内单调增加，区间I称为单调增区间；当12x x?时，有12()()f x f x?，则称()y f x?在区间I内单调减少，区间I称为单调减区间单调增区间和单调减区间统称为单调区间2）奇偶性设函数()y f x?的定义域关于原点对称（即若x D?，则x D?），若对于任意的x D?，都有()()f x f x?，则称()y f x?为偶函数；若对于任意的x D?，都有()()f x f x?，则称()y f x?为奇函数3）有界性设函数()f x在区间I上有定义，如果存在一个正数M，使得与任一x I?所对应的函数值()f x都满足不等式|()|f xM?，则称函数()f x在I内有界；如果这样的M不存在，则称函数()f x在I内无界4）周期性设函数()y f x?在区间D上有定义，若存在常数0T?，对于任意的xD?，恒有()()f xT f x?，则称()f x是以T为周期的周期函数通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期，例如，sin y x?的周期是2?，tan y x?的周期是?函数()y C C?为常数是周期函数，但不存在最小正周期 二、基本初等函数 1、常数函数常数函数()y C C?为常数的定义域为(+)?，对应法则是对于任何()x?，x所对应的函数值y恒等于常数C其函数图像为平行于x轴的直线 2、幂函数幂函数()ay xa?为任意常数的定义域和值域由a而定，但在 (0)?，内都有定义，且其图像都经过点 (11)， 3、指数函数指数函数 (01)xy aaa?，的定义域为()?，值域为 (0)?，图像都经过点 (01)，当1a?时，xy a?单调增加；当01a?时，xy a?单调减少指数函数的图像均在x轴上方. 4、对数函数对数函数log (01)ay xaa?，是指数函数xy a?的反函数对数函数的定义域为 (0)?，值域为()?，图像都经过点 (10)，当1a?时，log ay x?单调增加；当01a?时，log ay x?单调减少对数函数的图像在y轴的右方当e a?时，log ay x?简记为ln y x?，它是常见的对数函数，称为自然对数其中，e2.71828182845904523536?为无理数 5、三角函数三角函数有正弦函数sin y x?，余弦函数cos y x?；正切函数tan y x?，余切函数cot y x?；正割函数sec y x?，余割函数csc yx? （1）sinx和cosx的定义域为()?，值域为11?，都以2为周期sinx是奇函数，cosx是偶函数 （2）tanx的定义域是()2x kk?Z，cotx的定义域是()x kk?Z，它们都以为周期，且都是奇函数 6、反三角函数反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数 （1）反正弦函数arcsin yx?是正弦函数sin yx?在区间22?，上的反函数，其定义域为11?，值域为22?， （2）反余弦函数aros yx?是余弦函数cos yx?在区间0，上的反函数，其定义域为11?，值域为0， （3）反正切函数arctan yx?是正切函数tan yx?在区间22?，内的反函数，其定义域为()?，值域为22?， （4）反余切函数arot yx?是余切函数cot yx?在区间(0)，内的反函数，其定义域为()?，值域为(0)， 三、复合函数设y是u的函数()y fu?，u是x的函数()u x?如果()u x?的值域与()y fu?的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数()y f x?，称为x的复合函数，其中u称为中间变量例如，2y u?，sin u x?，它们复合而成的复合函数为22(sin)sin yx x?利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数分解的原则是由外向里，逐层分解分解的结果是分解成的每个简单函数都是基本初等函数或由基本初等函数经过有限次四则运算后形成的函数 四、初等函数和分段函数 1、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数称为初等函数 2、分段函数引例自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准是行驶里程如果不超过3公里，则收费13元；如果超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费那么每运次的行驶里程数x公里与费用y元之间的关系为131314313 (3)2.3137.12.33x xyx x x x?，剟以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同的表达式来表示的，这样的函数称为分段函数常见的分段函数绝对值函数0|0，x xy xx x?符号函数10sgn0010，xy x xx?1.3建立函数关系 一、工程技术中函数的建立例要造一个圆柱形油罐，其体积为定值V，试求油罐的表面积与底圆半径的函数关系解设油罐的底圆半径为r，油罐的高为h，因2V rh?，故2Vhr?油罐的表面积为222S rhr?，将2Vhr?代入上式得所求函数为222VS rr?， (0)r?，例某工厂建造一个小型车间，要求车间借助现有的一面墙建成两块矩形，设平行于原有墙面的矩形边长为x，现有材料只够砌50m长的墙壁，试求围成的车间面积S与边长x的函数关系解设矩形的宽为y，根据题意有350yx?，得503xy?车间面积为2 (50)501333x xSxy x x?， (050)x?，例弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比现在有一弹簧受力4N，伸长了0.01m，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系解设弹簧受力为F N时，其伸长量为l m，由题意可知F kl?（k为比例常数）将已知条件4F?时，0.01l?，代入上式，得40.01k?，400k?由此得该弹簧伸长量l与受到的力F之间的函数关系为1400l F? 二、经济函数的建立 1、需求函数需求（量）是指在一定的价格条件下，消费者对某种商品有支付能力购买的商品量人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如商品的价格、质量，消费者的收入、偏好等其中，商品的价格是影响需求量的主要因素，若把其他因素视为常量，则市场对某商品的需求量Q是商品价格p的函数，它是一个需求函数，可表示为()Q Q p?一般来说，在商品量一定的情况下，商品价格越低，需求量越大；商品价格越高，需求量越小因此，通常需求量是价格的单调减函数常见的需求函数有如下三种形式线性函数Q a bp? (00)a b?，；二次函数2Q a bp cp? (000)a bc?，；指数函数ebpQ a? (00)a b?，例某计算器售价80元/台时，月销售量是1000台；当价格调整为85元/台时，月销售量为600台，求该商品的线性需求函数解设该商品的线性需求函数为Q a bp?由题意可知，当80p?时，1000Q?；当85p?时，600Q?，代入Q a bp?得10008060085a ba b?，解得740080a b?，所以，所求的需求函数为740080Qp? 2、供给函数某商品的市场供给量S受商品价格的影响，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；价格下跌将使供给量减少供给量S是商品价格p的函数，称为供给函数，记为()S Sp?供给量S是价格p的单调增函数一般地，使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格0p称为均衡价格当价格0p p?时，商品供不应求，商品的价格有提高的趋势；当价格0pp?时，商品供过于求，商品的价格有下降的趋势；当价格在0p处时，供给量等于需求量这就体现了价格的市场调节作用 3、成本函数总成本C是指用于生产的总费用，它由固定成本0C和可变成本1C构成固定成本0C是指在一定时期内，不受产量变动影响的成本，如厂房、设备等费用可变成本1C是指随产量变化而变化的成本，如工人的工资、原材料费用等因此总成本C是产量q的函数，即01()()C qCC q?，称为成本函数平均成本函数（也叫单位成本函数）记为()()C qCqq? 4、收入函数与利润函数总收入R是指生产者将产品售出后的全部所得，总收入等于产品的单价p与销售量q的乘积假设销售过程中价格p不变，则总收入是销售量q的函数，即()R qpq?，称为收入函数为了研究问题的方便，我们假设生产的产量全部销售出去，即产量?销售量?q那么，总利润L就是总收入R减去总成本C，表示为()()()L qR qCq?所以，总利润()L q是产量或销售量q的函数，称为利润函数 5、单利与复利单利计算公式设初始本金为0P，计息期（如一年）的利率为r，则第一年末的本利和为1000 (1)S PPr P r?；第二年末的本利和为2000 (1) (12)S Pr Pr Pr?；第n年末的本利和为0 (1)nS Pnr?复利计算公式设本金为0P，计息期（如一年）的复利率为r，则第一年末的本利和为1000 (1)S PPr Pr?；第二年末的本利和为22000 (1) (1) (1)S Pr rPrPr?；第n年末的本利和为0 (1)nnS Pr?归纳总结通过总结回顾所学知识作业布置通过练习巩固所学知识数学实验初识数学软件MATLAB及绘图高职应用数学教案课程名称高职应用数学总学时64课程章节第2章极限与连续课时分配8教学目标1掌握极限的概念,熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。 2正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；3掌握极限的运算法则及求解方法4.正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续教学重点、难点1.极限的概念和左极限与右极限的概念及应用2.无穷大与无穷小的比较3.函数的连续性以及函数的左右连续性。 授课方式讲授法，板书教学内容2.1极限的概念2.2极限的性质和运算法则2.3两个重要极限及无穷小的比较2.4函数的连续性教学过程2.1极限的概念 一、数列的极限义定义1在某一法则下，当()nn?N依次取123n?，时，对应的实数排成一列数123nx x x x?，这列数就称为数列，记作nx数列中的每一个数称为数列的项，第n项nx称为数列的一般项或通项数列nx可看作自变量为整数n的函数()nx f n?，它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取123?，等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列nx义定义2对于数列nx，当n无限增大时，如果数列的一般项nx无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列nx的极限，或称数列nx收敛于a，记作limnxx a?；如果数列没有极限，则称数列是发散的 二、函数的极限数列是一种特殊的函数()nx fn?，它研究当自变量n?时，函数值()fn的变化趋势对于一般函数()y f x?，也可讨论自变量x在某一变化过程中函数()f x的变化趋势函数自变量x的变化过程可分为两种情况x的绝对值|x无限增大，x无限接近0x为了方便起见，我们规定x的绝对值|x无限增大用记号x?表示；x小于0且绝对值|x无限增大用记号x?表示；x大于0且绝对值|x无限增大用记号x?表示x无限接近0x用记号0x x?表示；x从0x的左侧（即0x x?）无限接近0x用记号0x x?表示；x从0x的右侧（即0x x?）无限接近0x用记号0x x?表示1）当x?时，函数()y f x?的极限例作出函数1yx?的图形，在0x?的前提下，讨论当x?时，该函数的变化趋势，并说出它的极限当x沿x轴的正方向无限增大时，曲线1yx?无限接近于x轴，但始终不与x轴相交，故当x?时，函数1yx?以0为极限义定义3当x的绝对值无限增大，即x?时，如果函数值()f x无限趋近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数()f x当x?时的极限，记作lim()xf x A?或()()f x A x?例4讨论limarctan2xx?是否存在解有lim arctan2xx?及lim arctan2xx?由于当x?和x?时，函数arctanx不是无限接近于同一个确定的常数，所以limarctanxx?不存在图2-2由上面的例子可以看出，如果lim()xf x?和lim()xf x?都存在并且相等，那么lim()xf x?也存在并且与它们相等如果lim()xf x?和lim()xf x?都存在，但不相等，那么lim()xf x?不存在理定理1lim()xf x A?的充分必要条件是lim()lim()x xf x f x A?例讨论函数e xy?及exy?当x?时的极限解如图2-3所示为这两个函数的图形因为+lim elim e0x xx x?，所以lime xx?不存在又因为lim e0lim ex xx x?，所以limexx?不存在2）当0x x?时，函数()f x的极限对于函数()1f x x?和21()1xg xx?，当1x?时，()f x和()g x的变化趋势如图所示从图像容易看出，当1x?时，()f x和()g x都无限接近于2义定义4设函数()y f x?在点0x的附近有定义（在0x处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于00()x x x?时，函数()f x的值无限趋近于A，那么A就称为函数()f x当0x x?时的极限，记作0lim()x xf x A?或0()()f x A x x?如果当x从0x的左边趋于0x（通常记作0x x?）时，()f x无限接近某常数A，则常数A称为函数()f x当0x x?时的左极限，记作0lim()x xf x A?或0()f x A?如果当x从0x的右边趋于0x（通常记作0x x?）时，()f x无限接近某常数A，则常数A称为函数()f x当0x x?时的右极限，记作0lim()x xf x A?或0()f x A?左极限与右极限统称为单侧极限根据函数极限的定义并观察函数图像，我们可以确定一些常见函数的极限例如，00limx xx x?，0limsin0xx?，0limcos1xx?，0lim()x xCCC?为常数，01limxx?不存在定理2当0x x?时，()f x以A为极限的充分必要条件是()f x在点0x处的左、右极限存在且都等于A，即000lim()lim()lim()x x x x x xf x Af x f xA?例设21()13x xf xx x?，试判断1lim()xf x?是否存在设20()10x xf xx x?，讨论极限0lim()xf x?是否存在？ 三、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量在实际中，我们经常遇到一类变量，它们的绝对值变得越来越小且趋向于零引例单摆离开铅直位置的偏度用角?来度量如果让单摆自己摆动，由于机械摩擦力和空气阻力，摆动幅度就会不断地减小，角?逐渐趋向于零对于这种变量变化趋于零的情形，我们给出如下定义定义5在自变量x的某一变化过程中，若函数()f x的极限为0，即lim()0f x?，则称()f x为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小性质3有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小例求1lim cosxxx? 2、无穷大量定义6在自变量x的某一变化过程中，若函数值的绝对值|()|f x无限增大，则称()f x为该变化过程中的无穷大量，简称无穷大记lim()f x?例如，当0x?时，1x的绝对值无限增大，因此在这个变化过程中，1x是无穷大量；当2x?时，函数tanx是无穷大量；当2x?时，12x?是无穷大量 3、无穷大与无穷小的关系定理3在自变量的同一变化过程中，无穷大、无穷小互为倒数关系，即如果lim()0f x?（或?），则有1lim()f x?（或0）例如，因为lim2xx?，所以1lim02xx?2.2极限的性质和运算法则 一、极限的性质定理1（唯一性）如果函数()f x在某一变化过程中有极限，则其极限唯一定理2（有界性）如果函数()f x在0x x?时存在极限，则必存在0x的某一邻域，使得()f x在该邻域内有界定理3（保号性）若在0x的左右近旁，恒有()0f x（或()0f x?）且0lim()x xf xA?，则0A（或0A?） 二、极限的运算法则定理4设00lim()lim()x x x xf xAg xB?，则 （1）000lim()()lim()lim()x x x x x xf x g x f x g xAB?； （2）000lim()()lim()lim()x x x x x xf x g x f x g xAB?； （3）000lim()()lim (0)()lim()x xx xx xf xf xABg xg xB?推论1设0lim()x xf xA?，则00lim()lim()()x x x xCf x Cf xCA C?为常数推论2设0lim()x xf xA?，则00lim()lim()()为非负整数nn nx x x xf x f xA n? 三、极限的求法 1、直接代入法它适用于0()lim()x xf xg x?，其中函数()f x和()g x在0x点有定义，且0()0g x?方法000()()lim()()x xf x f xg xg x?注此方法是求极限最基本、也是使用频率最高的方法之一例1求22125lim7xx xx?例2求22lim (326)xx x? 2、倒数法（0A型）它适用于0()lim()x xf xg x?，其中0()0g x?，但0()0f x?，记为“0A”型方法由直接代入法，先求其倒数的极限0()lim0()x xg xf x?，再由无穷大与无穷小的关系得0()lim()x xf xg x?例3求212lim1xxx? 3、分解因式，约去零因子法（00型）它适用于0()lim()x xf xg x?，其中0()0g x?且0()0f x?，记为“00”型方法将分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法例4求224712lim54xx xx x? 4、分子或分母有理化，约去零因子法（00型）它适用于0()lim()x xf xgx?，其中0()0gx?且0()0f x?，且分子或分母中含有根号，记为“00”型方法将分子或分母有根号的先有理化，约去共同的零因子，再用直接代入法例5求11lim32xxx? 5、公式法（无穷小分出法）（?型）它适用于101101limn nnmmxma xaxab xb xb?，此时分子、分母都趋于?，记为“?”型方法先将分子、分母同除x的最高次方，将分子、分母都转化成无穷小，于是有下面结论101010100limn nnmmxmn maxaxaan mbxbxbbn m?，当时，当时，当时此结论只与分子、分母的最高方次nm，有关例6求323345lim527xx xx x?例7求23243lim54xx xx x?例8求322621lim54xx x xx x?例9一个贮水池中有5000L的纯水，现将浓度为30g/L的盐水以25L/min的速度注入水池中，求 （1）经过min t后水池中盐的浓度； （2）随着时间的推移，池中盐的浓度将如何变化？ 6、?型它适用于lim()()f xgx?，其中lim()f x?且lim()gx?，记为“?”型方法先通分或先将分子有理化，就可以化成前面几种形式例10求3113lim11xx x?2.3两个重要极限及无穷小的比较 一、两个重要极限 1、0sinlim1xxx?从图像可以观察出，当0x?时，函数sinxyx?的值无限趋近于1此重要极限属于“00”型，常形象地表示为0sinlim1?（代表同一变量）例1求0sin3limxxx?例2求下列极限 （1）0sin3limsin5xxx?； （2）0tanlimxxx?； （3）201coslimxxx? 2、1lim1exxx?当x?时，函数11xx?的变化趋势从表中可以看出，当x?及x?时，11xx?的值无限趋近于e2.71828?，即1lim1exxx?如果令1tx?，则当x?时，0t?，因此公式还可以写成10lim (1)ettt?此重要极限属于“?1”型，常形象地表示为1lim1e?或10lim (1)e?（代表同一变量）例3求下列函数的极限 （1）3lim1xxx?； （2）10lim (1)xxx?例4设有本金10000元，年利率为6%，计息期五年，分别计算下列情况的本利和 （1）单利计息（五年结算一次）； （2）复利计息（3个月结算一次）； （3）连续复利计息 二、无穷小的比较203lim0xxx?，20lim3xxx?，02lim2xxx?，0sinlim1xxx?两个无穷小量比值极限的不同，反映了不同无穷小量趋于零的速度差异203lim0xxx?，说明当0x?时，230x?的速度比0x?要快；20lim3xxx?，说明当0x?时，0x?的速度比230x?要慢；02lim2xxx?，说明当0x?时，20x?与0x?的速度相当；0sinlim1xxx?，说明当0x?时，sin0x?与0x?的速度相同定义设，是自变量的同一变化过程中（0x x?或x?）的无穷小量，且0? （1）若lim0?，则称是比高阶的无穷小，记作()?； （2）若lim?，则称是比低阶的无穷小； （3）若lim0c?，则称与是同阶无穷小； （4）若lim1?，则称与是等价无穷小，记作例如，当0x?时，32x x?与x都是无穷小量，因为3xxlim lim (2)2x xx xxx?所以当0x?时，32x x?与x是同阶无穷小量等价无穷小在求极限时有重要的作用对此，有如下定理定理设，?，且lim?存在，则有lim lim?这说明，在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可分别用它们的等价无穷小代替，这样可以简化某些极限的运算因此，我们应该记住以下几个常用的等价无穷小当0x?时，sinx x，tanx x，arcsinx x，arctanx x，211cos2x x?，ln (1)x x?，e1xx?例5求30sinlim4xxx x?例6求30tan sinlimxx xx?2.4函数的连续性 一、连续函数的概念 1、函数的增量自变量从初值0x变为终值x时，终值与初值的差0x x?称为自变量x的增量（通常也称为改变量），记作x?增量x?可正可负设函数()y f x?在点0x的某邻域内有定义，当自变量x在该领域内由0x变到0x x?时，函数y相应地由0()f x变到0()f x x?，称00()()f xx f x?为函数的增量（或改变量），记作y?或()f x?，则有00()()y f xx f x? 2、函数连续的定义定义1设函数()y f x?在点0x的某一邻域内有定义，当自变量x在0x处的改变量x?趋于零时，相应地函数的改变量y?也趋于零，即0000lim lim()()0x xy f xx f x?，则称函数()y f x?在点0x处连续在定义1中，如果令0xxx?，则0x?即为0xx?，0y?即为0()()fx fx?，因此，函数在点0x处的连续性也可叙述为定义2设函数()y fx?在点0x的某一邻域内有定义，如果当0xx?时，函数()y fx?的极限存在且等于函数在点0x处的函数值，即00lim()()x xf x fx?，则称函数()y fx?在点0x处连续由函数()fx在点0x处左极限、右极限的定义可以得到函数()fx在点0x处是左连续与右连续的定义定义3若00lim()()x xfx fx?，则称函数()y fx?在点0x处是左连续若00lim()()x xfx fx?，则称函数()y fx?在点0x处是右连续定义4若函数()fx在开区间()a b，内各点处均连续，则称()fx在开区间()a b，内连续若函数()fx在开区间()a b，内连续，且在xa?处右连续，在xb?处左连续，则称()fx在闭区间a b，上连续例1讨论函数210()cos0x xf xxx?，?在0x?处的连续性根据连续函数的定义，通过上述例子，总结出()fx在点0x处连续需满足下列三个条件 （1）函数()fx在点0x的某邻域内有定义； （2）函数()fx的极限0lim()x xfx?存在； （3）00lim()()x xfx fx? 二、函数的间断点定义5设函数()y fx?在点0x的某去心邻域内有定义，如果函数()y fx?有下列三种情形之一 （1）在0xx?处没定义； （2）在0xx?处有定义，但0lim()x xfx?不存在； （3）在0xx?处有定义，且0lim()x xfx?存在，但00lim()()x xfx fx?，则称函数()fx在点0x处不连续或间断，点0x称为函数()fx的不连续点或间断点例2讨论函数sin()xf xx?在0x?处的连续性设点0x为函数()fx的不连续点或间断点 （1）若左极限0lim()x xfx?和右极限0lim()x xfx?都存在，则称点0x为函数()fx的第一类间断点其中若00lim()lim()xxx xfx fx?，则点0x为函数()fx的可去间断点；若00lim()lim()xxx xfx fx?，则点0x为函数()fx的跳跃间断点 （2）若左极限0lim()x xfx?和右极限0lim()x xfx?两者之中至少有一个不存在，则称点0x为函数()fx的第二类间断点其中，当0xx?时，若()fx为无穷大量，则这种类型的间断点也称为无穷间断点 三、初等函数的连续性定理1如果函数()fx和()gx都在点0x处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也都在点0x处连续定理2若函数()y fu?在点0u处连续，函数()u x?在点0x处连续，且00()u x?，则复合函数()y fx?在点0x处连续上述定理也可表示为若00lim()()xxxx?，00lim()()u ufu fu?，且00()u x?，则00lim()()x xfx fx?，即00lim()lim()xxxxfxfx?这说明，在求连续函数的复合函数的极限时，极限符号可与函数符号交换次序例3计算21lim25xxx?例4计算0log (1)limaxxx?定理3一切初等函数在其定义区间内都是连续的例5求函数2141y xx?的连续区间例6求下列函数的极限 （1）21ln (43)limarctanxx xx?； （2）22201lim3cos2xxx x? 四、闭区间上连续函数的性质性质1（最值定理）如果函数()y fx?在闭区间a b，上连续，则函数()fx在该区间上必有最大值和最小值若函数()fx在a b，上连续，则在a b，上至少有一点1，使得()fx在点1处取最大值M；同样，至少有一点2，使得()fx在点2处取最小值m性质2（介值定理）如果函数()y fx?在闭区间a b，上连续，且()()f af b?，C为介于()f a与()f b之间的任意数，则在开区间()ab，内至少存在一点，使得()fC?性质3（零点定理）如果函数()y fx?在闭区间ab，上连续，且()f a与()f b异号，即()()0f af b?，那么在开区间()ab，内至少存在一点，使()0f?从几何意义上讲，如果函数()fx在闭区间ab，上的图形是一条连续曲线，其两个端点分别位于x轴两侧，那么这条曲线与x轴至