备考2017之相似三角形压轴题(一)(附考点卡片).doc

备考2017之相似三角形压轴题（一）（附考点卡片）1（2015武汉）如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A2B+1CD12（2016闵行区二模）如图，已知在ABC中，AB=AC=6，AHBC，垂足为点H点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF设DF=x，ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围3（2016江都区二模）如图，ABC和DEF均是边长为4的等边三角形，DEF的顶点D为ABC的一边BC的中点，DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称连结HH、HG、GG、HG，其中HH、GG分别交BC于点I、J（1）求证：DHBGDC；（2）设CG=x，四边形HHGG的面积为y，求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？4（2012徐汇区校级模拟）在OAC中，AOC=90，OB=6，BC=12，ABO+C=90，M、N分别在线段AB、AC上（1）填空：cosC=（2）如图1，当AM=4，且AMN与ABC相似时，AMN与ABC的面积比为；（3）如图2，当MNBC时，将AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，EMN与ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围5（2006韶关）如图，在ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI（1）求证：四边形GHIJ是矩形；（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S矩形GHIJ=y求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；点E在何处时，矩形GHIJ的面积与AGH的面积相等？6（2002湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME（1）求证：AE=DF；（2）求证：AEBDME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围7（2008滨州）如图（1），已知在ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6将ACD沿箭头所示的方向平移，得到ACD如图（2），AD交AB于E，AC分别交AB、AD于G、F以DD为直径作O，设BD的长为x，O的面积为y（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）连接EF，求EF与O相切时x的值；（3）设四边形EDDF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？8（2016烟台）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值9（2016扬州）如图1，ABC和DEF中，AB=AC，DE=DF，A=D（1）求证：=；（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）=，如T（60）=1理解巩固：T（90）=，T（120）=，若是等腰三角形的顶角，则T（）的取值范围是；学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）（参考数据：T（160）1.97，T（80）1.29，T（40）0.68）10（2016安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP，OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点（1）求证：PCEEDQ；（2）延长PC，QD交于点R如图2，若MON=150，求证：ABR为等边三角形；如图3，若ARBPEQ，求MON大小和的值11（2016富顺县校级一模）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当DEG与ACB相似时，求t的值12（2016寿光市校级模拟）如图，已知EDBC，EAB=BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2=OEOF；（3）连接OD，若OBC=ODC，求证：四边形ABCD为菱形13（2016丹东模拟）已知点E在ABC内，ABC=EBD=，ACB=EDB=60，AEB=150，BEC=90（1）当=60时（如图1），判断ABC的形状，并说明理由；求证：BD=AE；（2）当=90时（如图2），求的值14（2016市北区一模）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AFBC，且AF=BC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E（1）求证：E是AD的中点；（2）若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论15（2016桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子AB，DC的长度和为6cm那么灯泡离地面的高度为（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子AB，DC的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子AB，DC的长度和为b，求灯泡离地面的距离（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）16（2016启东市一模）如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PEBC，交AD于点E点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动（1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）当t为何值时，以PE为半径的E与以DB为半径的D外切？并求此时DPE的正切值；（3）将ABD沿直线AD翻折，得到ABD，连接BC如果ACE=BCB，求t的值17（2016苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止连结PQ，设运动时间为t（t0）秒（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；当l经过点B时，求t的值18（2017莘县一模）如图，RtABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒（1）当t为何值时，PQBC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）19（2016开平区二模）如图，ABC是等边三角形，AB=4cm，CDAB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQBC交折线ADDC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；（2）求点R运动的路程长；（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值20（2015长乐市一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点M在BC上，连接AM，作AMN=AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E （1）求证：AMN是等腰三角形；（2）求BMAN的最大值；（3）当M为BC中点时，求ME的长21（2016高港区一模）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA=10，cosCOA=一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQOA，交折线段OCCB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束设点P的运动时间为t秒（t0）（1）C点的坐标为，当t=时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由22（2016天桥区一模）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合）设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）若BM=，求x的值；（3）求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S与x之间的函数关系式及S的最小值；（4）如图2，连接DE分别与边AB、AC交于点G，H，当x为何值时，BAD=1523（2016淮阴区一模）在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QRAB，垂足为Q，QR交折线ACCB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿ABBCCA移动，设移动时间为t秒（如图2）（1）求BCQ的面积S与t的函数关系式（2）t为何值时，QPAC？（3）t为何值时，直线QR经过点P？（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在RtABC内部，求此时t的取值范围24（2016射阳县二模）如图1，点C在线段AB上，DCAB于点C，且AC=DC，点E在线段DC上，且CE=CB（1）求证：ACEDCB；（2）如图2，延长BE到F，使DFAB，连接CF，当CD=2CE时，求证：AECF；（3）如图3，延长BE到f，使DFAB，连接AF，若CD=nCE（n1）时，设AEF的面积为S1，BDE的面积为S2，试探究S1与S2之间的数量关系，并说明理由25（2016东城区二模）【问题】在ABC中，AC=BC，ACB=90，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；【数学思考】那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；【拓展应用】当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0n1），请直接写出SABC：SAEF的值26（2017任城区一模）小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DEEF，交AB于点F请你跟着他一起解决下列问题：（1）如图，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？请给出证明（2）如图，若CAB=30，则DE，EF又有什么数量关系？请给出证明（3）由（1）、（2）这两种特殊情况，小明提出问题：如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么数量关系？请给出证明27（2016利辛县模拟）如图，已知RtABC中，C=90，AB=5cm，AC=4cm，如点P由点B出发向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC向C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接PQ，设运动时间为t（单位：s）（0t4）（1）当t何值时，PQBC？（2）设AQP面积为S（单位cm2），当t为何值时，S取最大值，并求出最大值（3）是否存在某个时刻t，使线段PQ把ABC面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由28（2016镇江二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动（1）求运动时间t的取值范围；（2）整个运动过程中，以点P、O、Q为顶点的三角形与RtAOB有几次相似？请直接写出相应的t值（3）t为何值时，POQ的面积最大？最大值是多少？29（2016邵阳县一模）在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DEAB，垂足为E，连接AD，将DEB沿直线DE翻折得到DEF，点B落在射线BA上的F处（1）求证：DEBACB；（2）当点F与点A重合时（如图），求线段BD的长；（3）设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并判断是否存在这样的点D，使AF=FD？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由30（2016鞍山一模）如图，射线BD是MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC（1）求证：AF=EF；（2）求证：AGFBAF；（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若PBG=BAF，AB=3，AF=2，求2017.1.25 相似三角形综合题（一）参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2015武汉）如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A2B+1CD1【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证DAGDCF，则有DAG=DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BOBM+OM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题【解答】解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，ADBC，GDEF，DA=DG，DC=DF，ADG=90CDG=FDC，=，DAGDCF，DAG=DCFA、D、C、M四点共圆根据两点之间线段最短可得：BOBM+OM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=，OM=AC=1，则BM=BOOM=1故选：D【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键二选择题（共6小题）2（2016闵行区二模）如图，已知在ABC中，AB=AC=6，AHBC，垂足为点H点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF设DF=x，ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【考点】圆的综合题菁优网版权所有【分析】（1）如图1中，过点D作DGAH于G，由DGBC得=，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH2=AB2BH2=AP2PH2列出方程即可解决问题（3）如图3中过点D作DGAF于G，设AG=t，根据AD2AG2=DF2FG2程即求出t与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可【解答】解：（1）如图1中，过点D作DGAH于G，AHBC，AB=ACDGE=CHG=90，BH=CH，DGBC，=，设EG=a，则EH=3a，=，AG=2a，AE=3a=2，AH=6a=4（2）如图2中，点P为圆心，BP为半径的圆与A外切，CP为半径的圆与A内切，AP=AD+BP，AP=PCAD，AD+BP=PCAD，PCBP=2AD=4，PH+HC（BHPH）=4，PH=2，AH2=AB2BH2=AP2PH2，设BP=x，62（x+2）2=（x+2）222，x=22，BC=2BH=2（PB+PH）=4（3）如图3中，过点D作DGAF于G，设AG=t，AD2AG2=DF2FG2，22t2=x2（2t）2，t=，y=SABC=18SADG=18AGDG=9，y=（0x2）【点评】本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是用转化的思想，把问题掌握方程解决，属于中考参考题型3（2016江都区二模）如图，ABC和DEF均是边长为4的等边三角形，DEF的顶点D为ABC的一边BC的中点，DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称连结HH、HG、GG、HG，其中HH、GG分别交BC于点I、J（1）求证：DHBGDC；（2）设CG=x，四边形HHGG的面积为y，求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？【考点】几何变换综合题菁优网版权所有【分析】（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；（2）由相似三角形得到，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HHGG的面积为y求出即可【解答】证明：（1）在正ABC中，ABC=ACB=60，BHD+BDH=120，在正DEF中，EDF=60，GDC+BDH=120，BHD=GDC，DHBGDC，（2）D为BC的中点，BD=CD=2，由DHBGDC，即：，BH=，H，H和G，G关于BC对称，HHBC，GGBC，在RtBHI中，BI=BH=，HI=BH=，在RtCGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，HH=2HI=，GG=2GJ=x，IJ=4，y=（+x）（4）边DF、DE始终分别交ABC的边AB、AC于点H、G，当DEF绕点D旋转时，点H和A重合时，AG=3，x=CG=1，当点G和A重合时，CG=4，x=4，1x4由得，y=（+x）2+2（+x），设=a，得y=a2+2a，当a=4时，y最大=4，此时=4，解得x=2【点评】此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点4（2012徐汇区校级模拟）在OAC中，AOC=90，OB=6，BC=12，ABO+C=90，M、N分别在线段AB、AC上（1）填空：cosC=（2）如图1，当AM=4，且AMN与ABC相似时，AMN与ABC的面积比为1：9或1：27；（3）如图2，当MNBC时，将AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，EMN与ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围【考点】相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）根据相似三角形的判定得出AOBCOA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用AMN=B时，（如图1）AMNABC，当AMN=C时，（如图2）AMNACB分别求出即可；（3）首先得出AMNABC，当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可【解答】解：（1）AOOC，ABO+BAO=90ABO+C=90，BAO=C又ABO=COA，AOBCOAOB=6，BC=12，6：OA=OA：18，OA=6，AC=12，cosC=；故答案为：；（2）cosC=，C=30，tanABO=，ABO=60，BAC=30，AB=BC=12AMN=B时，如图1，AMNABCAM=4，SAMN：SABC=AM2：AB2=42：122=1：9当AMN=C时，如图2，AMNACBAM=4，SAMN：SABC=AM2：AC2=42：（12）2=1：27故答案为：1：9或1：27；（3）可以求得：SABC=AOBC=612=36MNBC，AMNABCSAMN：SABC=MN2：BC2SAMN：36=x2：122SAMN=x2当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），MNBC，ANM=C=30ANM=BACAM=MN=x将AMN沿MN折叠，ENM=ANM=30AFN=90MF=MN=AM=xSFMN：SAMN=MF：AMy：x2=x：x=1：2y=x2（0x8）；当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），MNBC，CN：AC=BM：ABCN：12=（12x）：12，CN=12xCNGCBA，SCNG：SABC=CN2：BC2SCNG：36=（12x）2：122SCNG=（12x）2S阴=SABCSAMNSCNG=36x2（12x）2即y=x2+18x72（8x12）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置关系进行分类讨论得出是解题关键5（2006韶关）如图，在ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI（1）求证：四边形GHIJ是矩形；（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S矩形GHIJ=y求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；点E在何处时，矩形GHIJ的面积与AGH的面积相等？【考点】二次函数综合题；三角形的面积；矩形的判定；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）易得GEFIED，FHEDJE，则有GE=EI，EH=JE，所以四边形GHIJ是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，AF垂直平分GHEFHI（三角形中位线定理）HIGH四边形GHIJ是矩形（2）由于矩形GHIJ的面积=GHFD，AGH的面积=HGAF，所以要使矩形GHIJ的面积等于AGH的面积，则需AF=2DF，建立关于ED的方程，求得ED即可【解答】（1）证明：F，E关于点D对称，FE=ED（1分）又GHBC，FGE=EID，GEF=DEI，GEFIED，GE=EI，（2分）同理可证EH=JE，（3分）四边形GHIJ是平行四边形，（4分）AB=AC，GHBC，ADBC，AF垂直平分GH，EFHI（三角形中位线定理），HIGH，四边形GHIJ是矩形（5分）（2）解：由（1）得，DF=2ED=2x，GHBC，AGHABC，即GH=（62x）=10xS矩形GHIJ=HIGH=2x（10x）=x2+20x，（6分）AF=62x0，x3，0x3（7分）解法（一）：SAGH=AFGH=（62x）（10x），S矩形GHIJ=2x（10x），依题意，得：（62x）（10x）=2x（10x），（8分）解得：x1=1，x2=3（x3，舍去），即：当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与AGH的面积相等（9分）解法（二）：要使矩形GHIJ的面积等于AGH的面积，则需AF=2DF，（8分）即62x=4x，x=1，当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与AGH的面积相等（9分）【点评】本题利用了对称的概念，全等三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定，三角形和矩形的面积公式求解6（2002湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME（1）求证：AE=DF；（2）求证：AEBDME；（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围【考点】垂径定理；根据实际问题列二次函数关系式；平行线的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题；数形结合【分析】（1）设BM的中点为O，过O作OHEF，垂足为H利用平行线的性质和垂径定理可求出；（2）要求证AEBDME，就要利用三角形相似的判定证明，从题中互余的关系可知三角相等，利用AAA定理可证明；（3）要求四边形ABMD的面积为y与边的关系，就要利用面积公式列出式子，再分析看成变量x的最值范围【解答】（1）证明：设BM的中点为O，过O作OHEF，垂足为H，OB=OM，AH=DH根据垂径定理可知EH=FH，AE=DF；（2）证明：BM是圆O的直径，BEM=90，AEB+DEM=90，AEB=DME，AEBDME；（3）解：AEBDME，AB=1，AE=x，DE=2x，DM=x（2x），y=（AB+DM）AD=x2+2x+1自变量的取值范围是0x1【点评】本题综合考查了平行线，垂径定理和相似三角形的判定及矩形的面积公式等计算能力7（2008滨州）如图（1），已知在ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6将ACD沿箭头所示的方向平移，得到ACD如图（2），AD交AB于E，AC分别交AB、AD于G、F以DD为直径作O，设BD的长为x，O的面积为y（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）连接EF，求EF与O相切时x的值；（3）设四边形EDDF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）本题的关键是求出DD的长，已知了AB、AD的长，可在直角三角形BDA中，用勾股定理求出BD的长，根据DD=BDBD即可得出DD的表达式，有了DD的长即圆的直径可根据圆的面积公式得出y，x的函数关系式（2）EF与圆O相切，那么DE=DD，根据（1）得出的DD的表达式可表示出DE的长，然后根据BDE与BDA相似，可得出关于DE、DA、BD、BD的比例关系式，以此来确定x的值（3）在（1）、（2）中已经得出了DD和DE的表达式，即可根据矩形的面积公式求出S，x的函数关系式【解答】解：（1）AB=10，AD=6，ADB=90BD=CD=8DD=BDBD=8xy=（8x）2（0x8）（2）BDECDFED=DFEDDF，FDD=90四边形EDDF是矩形EFDD若DF与O相切，则ED=DDEDB=AOB=90，B=BBEDBAD，即ED=解得x=因此，当x=时，EF与O相切（3）S=EDDD=x2+6x=（x4）2+12x=4时，满足0x8，S的值最大，最大值是12【点评】本题结合矩形的性质以及三角形的相似考查了二次函数的应用，利用数形结合的思想来求解是本题的基本思路三解答题（共23小题）8（2016烟台）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明如图1，矩形ABCD中，EFGH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AMBN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值【考点】相似形综合题菁优网版权所有【专题】探究型【分析】（1）过点A作APEF，交CD于P，过点B作BQGH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到=，就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10y，在RtCSD中根据勾股定理可得x2+y2=25，在RtARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10y）2=100，解就可求出x，即可得到AR，问题得以解决【解答】解：（1）过点A作APEF，交CD于P，过点B作BQGH，交AD于Q，如图1，四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，AP=EF，GH=BQ又GHEF，APBQ，QAT+AQT=90四边形ABCD是矩形，DAB=D=90，DAP+DPA=90，AQT=DPAPDAQAB，=，=；（2）如图2，EFGH，AMBN，由（1）中的结论可得=，=，=故答案为；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形ABC=90，ABSR是矩形，R=S=90，RS=AB=10，AR=BSAMDN，由（1）中的结论可得=设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10y，在RtCSD中，x2+y2=25，在RtARD中，（5+x）2+（10y）2=100，由得x=2y5，解方程组，得（舍去），或，AR=5+x=8，=【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键9（2016扬州）如图1，ABC和DEF中，AB=AC，DE=DF，A=D（1）求证：=；（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）=，如T（60）=1理解巩固：T（90）=，T（120）=，若是等腰三角形的顶角，则T（）的取值范围是0T（）2；学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）（参考数据：T（160）1.97，T（80）1.29，T（40）0.68）【考点】相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）证明ABCDEF，根据相似三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可【解答】解：（1）AB=AC，DE=DF，=，又A=D，ABCDEF，=；（2）如图1，A=90，AB=AC，则=，T（90）=，如图2，A=120，AB=AC，作ADBC于D，则B=30，BD=AB，BC=AB，T（120）=；ABACBCAB+AC，0T（）2，故答案为：；0T（）2；圆锥的底面直径PQ=8，圆锥的底面周长为8，即侧面展开图扇形的弧长为8，设扇形的圆心角为n，则=8，解得，n=160，T（80）1.29，蚂蚁爬行的最短路径长为1.29911.6【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10（2016安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP，OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点（1）求证：PCEEDQ；（2）延长PC，QD交于点R如图2，若MON=150，求证：ABR为等边三角形；如图3，若ARBPEQ，求MON大小和的值【考点】相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE=OC，OC，CE=OD，CEOD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到OCE=ODE，根据等腰直角三角形的定义得到PCO=QDO=90，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论（2）连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到ARC=ORC，ORQ=BRO，根据四边形的内角和得到CRD=30，即可得到结论；由（1）得，EQ=EP，DEQ=CPE，推出PEQ=ACR=90，证得PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB=PEQ=90，根据四边形的内角和得到MON=135，求得APB=90，根据等腰直角三角形的性质得到结论【解答】（1）证明：点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，DE=OC，DEOC，CE=OD，CEOD，四边形ODEC是平行四边形，OCE=ODE，OAP，OBQ是等腰直角三角形，PCO=QDO=90，PCE=PCO+OCE=QDO+EDO=EDQ，PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，在PCE与EDQ中，PCEEDQ；（2）如图2，连接RO，PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，AR=OR=RB，ARC=ORC，ORQ=BRO，RCO=RDO=90，COD=150，CRD=30，ARB=60，ARB是等边三角形；由（1）得，EQ=EP，DEQ=CPE，PEQ=CEDCEPDEQ=ACECEPCPE=ACERCE=ACR=90，PEQ是等腰直角三角形，ARBPEQ，ARB=PEQ=90，OCR=ODR=90，CRD=ARB=45，MON=135，此时P，O，B在一条直线上，PAB为直角三角形，且APB=90，AB=2PE=2PQ=PQ，=【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键11（2016富顺县校级一模）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点D作DHAB于H，过点E作EFAC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的