2019-2020学年东莞市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省东莞市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由，所以，又，所以，故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先求出直线的斜率，由即可求解.【详解】，由，故选：A【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系以及常见角的正切值，属于基础题.3下列函数中，与函数()的值域不相同的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数的定义域求出函数的值域，然后由幂函数、指数函数、对数函数再求出各选项函数的值域即可求解.【详解】函数()的值域为.对于A，值域为；对于B， 值域为；对于C，值域为；对于D，值域为；故选：D【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.4已知，则的大小关系是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】由，故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，需熟记指数函数、对数函数的性质，此题属于基础题.5已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据三视图分析出几何体的几何结构特征：正方体挖去一个圆锥，然后再由正方体与椎体的体积公式即可求解.【详解】由几何体的三视图可知：几何体是以为边长为正方体挖去一个底边半径为，高为的圆锥，所以 故选：C.【点睛】本题主要考查几何体的三视图还原几何体的结构特征以及椎体的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6东莞某中学高一（1）班组织研学活动，分别是11月16日参观“大国重器”散裂中子源中心和11月17日参观科技强企华为松山湖总部，两个活动各有30个参加名额的限制. 为公平起见，老师组织全班50名学生进行网上报名，经过同学们激烈抢报，活动所有名额都被抢完，且有12名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额，则有（ ）名学生遗憾地未能抢到任何一个活动的参加名额.A1B2C3D4【答案】B【解析】由题意作出韦恩图即可求解.【详解】作出韦恩图如下：由图可知 故选：B【点睛】本题考查了韦恩图的应用，考查了集合的基本运算，属于基础题.7已知直线与直线垂直，则（ ）A或BCD【答案】A【解析】根据直线方程的一般式，直线垂直：即可求解.【详解】由直线与直线垂直，所以，解得或.故选：A【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.8设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】由线面平行的定义可判断A；由线面平行的定义以及面面垂直的性质可判断B；由面面平行的判定定理可判断C；由面面垂直的判定定理可判断D.【详解】对于A，若，则平行、相交、异面均有可能，故A不对；对于B，若，则可能垂直、平行，也可能在面内，故B不对；对于C，若，则平行、相交，故C不对；对于D，若，由面面垂直的判定定理，则，故D对； 故选：D【点睛】本题主要考查线面、面面之间的位置关系，属于基础题.9方程的根所在区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据函数与方程以及零点存在性定理即可判断.【详解】令，由，且函数单调递增，零点所在的区间为，故方程的根所在区间为.故选：B【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，需掌握定理的内容，属于基础题.10小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为、的长方体.为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎.如图所示，彩绳以A为起点，现沿着环绕礼盒进行捆扎，其中、分别为下底面各棱的中点，分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为（ ）ABCD【答案】B【解析】，由图根据对称性，用绳最短即最小，且，使最小即可，列出函数关系式，求导求最值即可.【详解】由图根据对称性，用绳最短即最小，且，使最小如图，过作垂直于点所在的边于点，长方体的长、宽、高为、设，则，令，则，解得， 令，则，解得 令，则，解得，故在单调递减，在单调递增，所以.又 所以用绳最短为故选：B【点睛】本题考查了导函数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，综合性比较强，属于中档题.11函数（其中）的图象不可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，再分类讨论当时，当时，当时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解.【详解】解：由，则当时，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，即选项D满足题意； 当时，函数在为增函数，在为减函数，即选项A满足题意；当时，函数在为减函数，在为减函数，在为增函数，即选项B满足题意，即函数（其中）的图像不可能是选项C，故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.二、多选题12如图，在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A四点共面B平面平面C直线与所成角的为D平面【答案】BC【解析】根据、是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点 ，连接、，即可判断C；根据线面平行的判定定理即可判断D.【详解】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC【点睛】本题主要考查了线面、面面之间的位置关系，属于基础题.三、填空题13函数的定义域是_.（结果写成集合或区间）【答案】且【解析】使函数表达式有意义即，解不等式组即可.【详解】使函数有意义，即，解得且，故函数的定义域为且.故答案为：且【点睛】本题主要考查函数的定义域，属于基础题.14已知直线与平行，则与之间的距离为_【答案】【解析】首先根据两条直线平行求出参数，再有两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由直线与平行，则，即，故直线，化为，又，故与之间的距离为，故答案为：【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题.15我国古代数学名著九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，则该“阳马”外接球的表面积为_.【答案】【解析】以，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】由题意，以，为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则故.故答案为：【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.16已知点. 若从点射出的光线经直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为_；若从点射出的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是_（结果用表示）.【答案】 【解析】首先求出点关于直线的对称点，由结合点斜式即可求解；求出点关于轴对称点，关于直线对称点， 即为光线经过的路程.【详解】设点关于直线的对称点为，直线：，所以解得，故，由：，即. 点关于轴对称点，设关于直线对称点， 由解得，故.故 故答案为：；【点睛】本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.四、解答题17已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】（1）首先求出集合、，然后再由集合的交运算即可求解. （2）根据得，再由集合的包含关系即可求解.【详解】解：（1）由题意可知， 当 （2） 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.18已知的三个顶点是，.（1）求边的垂直平分线方程；（2）若的面积为，求实数的值.【答案】（1） （2）或-4【解析】（1）求出线段的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；（2）求出线段的长度，再求出点到直线的距离，由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）线段的中点坐标为 记边的垂直平分线为，则 ，得线段的垂直平分线的方程为，即. （2） 直线，即 设点到直线的距离为，则， ， 或.【点睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题.19如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别为棱，的中点（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积；（3）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）平面AEF，理由见解析【解析】（1）首先证出，根据线面垂直的判定定理证出平面，再由线面垂直的定义即证. （2）证出为三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式以及等体法即可求解.（3）利用线面平行的判定定理即可证出直线与平面的位置关系.【详解】证明：（1）平面平面 ，点为的中点， 又，面 平面 又平面 ，即 （2），故， 三棱柱中，侧棱底面，平面 平面, 又平面 即为三棱锥的高 （3）平面，证明如下：连接，记与相交于点 ,连接分别为和的中点，故四边形为平行四边形 为中点，又为中点，平面，平面，平面【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、等体法求点到面的距离以及线面平行的判定定理，考查了学生的推理能力，属于中档题.20已知函数.（1）判断的单调性，并说明理由；（2）判断的奇偶性，并用定义证明；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）增函数，理由见解析 （2）奇函数，证明见解析 （3）【解析】（1）利用函数单调性的定义即可得证.（2）首先判断定义域关于原点对称，利用函数奇偶性定义即可得证.（3）由(1)(2)以及分离参数法将不等式转化为对任意恒成立，令，求的最大值即可.【详解】解：（1）是定义域上的增函数. 设任意的，且，则， 因为,所以，又，所以 即，所以是定义域上的增函数. （2）是奇函数. 证明：因为，定义域关于原点对称所以对任意，都有 所以是奇函数. （3）由（2）知为上的奇函数，所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立. 又由（1）知，在定义域上单调递增，得对任意恒成立即对任意恒成立. 设,则，故在上的最大值为， 所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及利用函数的性质解不等式，综合性比较强，属于中档题.21对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”.（1）如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求，；（2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；（3）已知函数，试在图象上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标.【答案】（1）5,5,4 （2）图见解析，面积为50； （3）【解析】（1）由题中新定义即可求解（2）设点坐标为，由新定义可得，即点的轨迹为正方形，从而可求得面积.（3）由新定义，利用函数的单调性即可求出最小值，进而求出点的坐标.【详解】解：（1）由题得， （2）设点坐标为，因为点满足， 则，点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由）该正方形所围成图形的面积. （3）设点坐标为，则由题，因为， 设，任取，且，则，且，在上是减函数，当，即点的坐标为时，即最小为4.【点睛】本题是一道新定义题目，考查了函数的单调性求最值，属于基础题.22已知函数.（1）求函数的零点；（2）若关于的方程()恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）， （2）【解析】（1）将函数去绝对值写成分段函数的形式，利用零点的定义解方程即可求解.（2）作出函数的大致图象，令，利用数形结合分析可得当，或当，根据二次函数根的分布即可求解；或直接解方程，根据根的取值范围即可求出的取值范围.【详解】