2018-2019学年长沙市第一中学高一上学期12月阶段性考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上学期12月阶段性考试数学试题一、单选题1集合P1，2，3，4，5，Qx|x290，则PQ（）A1B1，2C1，2，3D3，2，1，0，1，2，3【答案】C【解析】先化简集合Q，再求PQ得解.【详解】由题得Qx|，所以PQ=1，2，3.故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2直线l在y轴上的截距为2，且斜率为1，则该直线方程为（）Ayx+2Byx+2Cyx2Dyx2【答案】A【解析】直接利用直线的斜截式方程写出直线的方程得解.【详解】因为直线l在y轴上的截距为2，且斜率为1，所以该直线方程为yx+2.故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3已知R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）2x，则f（2）（）A4B4CD【答案】C【解析】利用奇函数的性质得，即得解.【详解】由题得.故选：C【点睛】本题主要考查奇函数的性质的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4函数的图像大致为（ ）ABCD【答案】A【解析】先判断函数为偶函数排除；再根据当时， ，排除得到答案.【详解】，偶函数，排除；当时， ，排除 故选：【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.5已知两个平面垂直，下列命题中错误的是（）A两个平面内分别垂直于交线的两条直线相互垂直B一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面C一个平面内存在直线垂直于另一个平面D一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面内的无数条直线【答案】B【解析】利用直线平面的空间位置关系逐一分析判断得解.【详解】A.设两个平面为 , ，所以，因为平面，所以.所以该命题是正确的；B.如果一个平面内的直线与两平面的交线不垂直，则该直线不垂直于另外一个平面,所以该命题是错误的；C.一个平面内垂直交线的直线垂直另外一个平面，所以该命题是正确的；D.如果一个平面内的这条直线垂直两平面的交线，则这条直线垂直另外一个平面的无数条直线；如果这条直线不垂直两平面的交线，由于另外一个平面内垂直交线的直线垂直这个平面，所以，因为另外一个平面内与直线平行的有无数条，所以直线垂直另外一个平面内的无数条直线，所以该命题是正确的.故选：B【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的位置关系的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6已知函数f（x）2x2+8x+a在区间3，2上存在零点，则实数a的取值范围是（）A（8，42）B（8，6C8，6D8，42【答案】D【解析】由题得，解不等式组即得解.【详解】由题得二次函数的图象的对称轴为，由于函数在区间3，2上存在零点，所以.故选：D【点睛】本题主要考查二次函数的零点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.8已知函数f（x）ex+x23x+1，则函数f（x）的零点个数为（）A3个B2个C1个D0个【答案】B【解析】构造函数和，画出两函数的图象，即可判断零点个数【详解】函数，可得，即，在坐标系内画出和的图象如图所示，可知两个函数的图象有2个交点，所以函数的零点个数为：2故选：【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，考查指数函数和二次函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是棱B1B、B1C中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（）A矩形B三角形C正方形D等腰梯形【答案】D【解析】取的中点，连接、，推导出平面平面，由此得到过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形【详解】取的中点，如图连接、，由题意得：，不在平面内，平面内，平面.不在平面内，平面内，平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形故选：【点睛】本题考查截面图形的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10若函数f（x）ax（k1）ax（a0且a1）在R上既是奇函数，又是增函数，则g（x）loga（x+k）的图象是（）ABCD【答案】B【解析】根据函数的奇偶性先求出，然后利用的单调性进行求解即可【详解】函数是上的奇函数，则，即得，则，是增函数，则，则是增函数，图象是的图象向左平移2个单位得到，故对应的图象为，故选：【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键11已知f（x）|ex1|+2若函数yf（x）2（3+a）f（x）+3a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A1a2B2a3Ca2Da3【答案】B【解析】易知，或，作出函数的图象，观察得解【详解】令，则或，作函数的图象如图所示：由图可知，有一个交点，要使函数有三个零点，则需要有两个交点，则，故选：【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，旨在考查数形结合思想，属于基础题12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上存在一动点P，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N两点设BPx，BMN的面积为S，则当点P由点B运动到BD1的中点时，函数Sf（x）的图象大致是（）ABCD【答案】D【解析】根据题意和正方体的特征，分析点动的过程中，随着变化情况以及变化速度，再对照选项中的图形选出【详解】由题意知，平面，其轨迹经过，和侧棱，的中点，设对角线的中点为，则当点位于线段上时，由题得是一个定值，设，由题得，所以,因为，所以函数的图象应为开口朝上二次函数图象递增的一部分，故选：【点睛】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力二、填空题13已知点A（m，2），B（3，1），若直线AB的斜率为，则m_【答案】3【解析】由题得，解方程即得解.【详解】由题得,解之得.故答案为：【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14_【答案】15【解析】利用指数对数的运算法则化简求解.【详解】故答案为：15【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15若函数的值域为0，+），则实数a的取值范围是_【答案】（，2【解析】根据函数的值域为，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可【详解】设，若函数的值域为，则等价于，是值域的子集，设，则，则，当对称轴，即时，不满足条件当，即时，则判别式，即，则，即实数的取值范围是，.故答案为：，【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键16在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥PABC的外接球表面积为，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为_【答案】【解析】设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，求出R，设M为ABC的中心，N为AB的中点，求出OM的长，再证明NPC就是直线PC与平面PAB所成角,利用直角三角函数求解.【详解】设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则S球4R2，故R，设M为ABC的中心，N为AB的中点，则OM平面ABC，且OC，NC，MC，OM2，PA平面ABC，故PA2OM4，PN，且PACN，又CNAB，ABPAA，CN平面PAB，所以NPC就是直线PC与平面PAB所成角.tanNPC【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，考查空间线面位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17已知直线l过点P（1，2），根据下列条件分别求出直线l的方程（斜截式方程）：（1）直线l与垂直；（2）l在x轴、y轴上的截距之和等于0【答案】（1）yx2；（2）y2x或yx+1【解析】（1）先求出直线l的斜率，再写出直线的点斜式方程整理即得解；（2）分直线经过原点和不经过原点两种情况讨论得解.【详解】（1）根据题意，直线l与垂直，则直线l的斜率k，直线l的方程为y2（x1），变形可得yx2，故直线l的方程为yx2；（2）根据题意，分2种情况：若直线l经过原点，其方程为y2x，若直线l不经过原点，则l在x轴、y轴上的截距互为相反数，则直线l的斜率k1，所以直线l的方程为y2（x1），变形可得yx+1，故直线l的方程为y2x或yx+1【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.18已知集合，其中.（1）当时，求集合，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】 【解析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件化为集合关系，再结合数轴求实数的取值范围.【详解】(1)当时，,所以因为,所以(2)因为，所以,当时,满足条件，,不满足条件，因此.【点睛】防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.19如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动（1）证明：D1EA1D；（2）若EB，求二面角D1ECD的大小【答案】（1）见解析（2）30【解析】（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AEt，（0t2），证明0即得证；（2）利用向量法求二面角D1ECD的大小【详解】证明：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AEt，（0t2），则D1（0，0，1），E（1，t，0），A1（1，0，1），D（0，0，0），（1，t，1），（1，0，1），所以0，D1EA1D（2）EB，E（1，2，0），C（0，2，0），（1，0），（0，2，1），设平面CED1的法向量（x，y，z），则，取y3，得（，6），平面CDE的法向量（0，0，1），设二面角D1ECD的平面角为，则cos，所以30，二面角D1ECD的大小为30【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20已知函数（1）若k0，试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知f（x）在（，0上单调递减，求实数k的取值范围【答案】（1）见解析（2）（，01，+）【解析】（1）对k分和两种情况结合函数奇偶性的定义讨论；（2）设tex，x（，0，则有0t1，对k分和，结合复合函数的单调性分析得解.【详解】（1）根据题意，函数，则f（x）kex+ex1，当k1时，有f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，当k1时，f（x）f（x）且f（x）f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；（2）根据题意，设tex，x（，0，则有0t1，则ykt1，又由tex为增函数，对于ykt1，当k0时，ykt1在（0，1为减函数，函数f（x）在R上递减，符合题意，当k0时，函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数，此时，若已知f（x）在（，0上单调递减，必有1，解可得k1，综合可得：k的取值范围为（，01，+）【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21如图所示的几何体，底面ABFE是边长为2的正方形，DE与CF均垂直于平面ABFE，且（1）证明：BE平面ACD；（2）求三棱锥BACD的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）设AFBEO，在平面AFC中，过O作OGCF，交AC于G，证明BEDG，BE平面ACD即得证 ；（2）连接BG，利用VBACDVABGD+VCBGD求解.【详解】（1）证明：设AFBEO，在平面AFC中，过O作OGCF，交AC于G，O为AF的中点，G为AC的中点，则OGCF，OG，又DECF，DE，DEOG且DEOG，则四边形OEDG为平行四边形，OEDG，即BEDG，DG平面ADC，BE平面ADC，BE平面ACD.（2）连接BG，则，VBACDVABGD+VCBGD【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22对于函数f（x），若f（x）的图象上存在关于原点对称的点，则称f（x）为定义域上的“伪奇函数”（1）若f（x）ln（2x+1）+m是定义在区间1，1上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；（2）试讨论f（x）4xm2x+2+4m23在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由【答案】（1）；（2）当时，函数f（x）为“伪奇函数”，当时，函数f(x)不是“伪奇函数”.【解析】（1）等价于2mln（2x+2x+2）在1，1上有解，令，利用函数的单调性分析得到2ln3ln22mln4，解之即得.（2）假设存在实数x满足题意，等价于（2x+2x）224m（2x+2x）+8m260有解，令n2x+2x（n2），则需n24mn+8m280在2，+）上有解，再分类讨论得解.【详解】（1）因为f（x）ln（2x+1）+m