导数在研究函数中的应用.ppt

2020 4 9 1 执教人 刘麦玲 复习课 导数在研究函数中的应用 2020 4 9 2 1 函数的单调性与导数的关系 设函数y f x 在区间 a b 内可导 如果在区间 a b 内 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果在区间 a b 内 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果在区间 a b 内 函数y f x 单调递增 那么在这个区间内 0 如果在区间 a b 内 函数y f x 单调递减 那么在这个区间内 0 2 用导数法求可导函数单调性区间的步骤 确定函数f x 的定义域 求函数f x 的导数 令 0 解不等式得x的范围就是递增区间 令 0 解不等式得x的范围就是递减区间 2020 4 9 3 3 函数的极值 函数极值的定义 设函数f x 在包含x0的一个区间 a b 内定义 如果y f x 在区间 a b 内任何一点的函数值都不大于x0点的函数值 就称点x0为函数f x 的极大值点 其函数值为函数的极大值 记作 y极大值 如果y f x 在区间 a b 内任何一点的函数值都不小于x0点的函数值 就称点x0为函数f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 记作 y极小值 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值统称为极值点 判断极值的方法 当函数f x 在点x0处可导 判断f x0 是极大 小 值的方法有 定义法 导数法 如果在x0的左侧 0 右侧 0 那么x0是极大值点 f x0 是极大值 如果在x0的左侧 0 右侧 0 那么x0是极小值点 f x0 是极小值 简记为 若在x0两侧异号 x0是极值点 f x0 是极值 若f x 在x0两侧同号 则x0不是极值点 2020 4 9 4 若函数f x 可导 则 0是x0为极值点的必要不充分条件 用导数法求可导函数y f x 极值的步骤 确定函数f x 的定义域 求函数f x 的导数 解方程 0 用 0的每一个解x0顺次将函数的定义域分成若干个小区间 并列成表格 分析f x 在x0两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 函数的最值 函数的最大与最小值 在闭区间 a b 上可导的函数f x 在区间 a b 上一定有最大值与最小值 但在开区间 a b 内可导的函数f x 不一定有最大值与最小值 用导数法求可导函数f x 在闭区间 a b 上最值的步骤 求函数f x 在区间 a b 内的极值 求函数f x 在区间端点的函数值f a f b 将函数f x 在区间 a b 内的每个极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2020 4 9 5 问题提出 极值与最值的区别与联系是什么 X f x1 f x3 f x5 f x2 f x4 f a f a 2020 4 9 6 典例分类剖析题型1求函数的单调区间例1求下列函数的单调区间 f x 2x3 3x2 36x 16 f x x3 3bx 2 b 0 解 1 函数f x 的定义域为R 6x2 6x 36 6 x 2 x 3 令 6 x 2 x 3 0 解得x 2或x 3令 6 x 2 x 3 0 解之得 2 x 3故f x 的单调递增区间为 2 3 单调递减区间为 2 3 2 函数f x 的定义域为R 3x2 3b当b 0时 0恒成立 所以f x 的单调递增区间为 当b 0时 解 0即x2 b得x 或x 解 0得 x 所以f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 2020 4 9 7 题型2求函数的极值例2 求函数y 的极值 由表知函数f x 的极大值为f x 1 极小值为f 1 3 解 令 0 解得x 1或x 1列表如下 2020 4 9 8 题型3求函数的最值例3 求函数y x3 12x2 45x 10在区间 0 10 上的最大值和最小值 解 函数 3x2 24x 45令 0得3x2 24x 45 0即x2 8x 15 0解得x1 3或x2 5列表如下 10 240 由表知 极大值f 3 62 极小值f 5 40所以f x 在 0 10 上的最大值为240 最小值为 10 2020 4 9 9 1 f x 5x2 2x的单调递增区间是2 f x x3 3x2 1的单调递减区间是 A 2 B 2 C 0 D 0 2 3 2009广东 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 4 函数f x 的定义域为 a b 其导函数在 a b 内的图像如下图所示 则函数f x 在区间 a b 内极小值点的个数是 5 2009 辽宁 若函数f x 在x 1处取得极值 则a 6 2007 江苏 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为M m 则M m 7 2008 安徽 设函数f x x 0 则f x A 有最大值B 有最小