云南大学信号与系统教案第5章

云南大学信号与系统教案第5章 云南大学信号与系统教案第5章.ppt第五章连续系统的s s域分析频域分析以虚指数信号e jt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。 使响应的求解得到简化。 物理意义清楚。 但也有不足（ （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（ （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率s=+j,以复指数函数e st为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。 所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 5.1拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-?t(?为实常数）乘信号f(t)，适当选取?的值，使乘积信号f(t)e-?t当当t?时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-?t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为f(t)e-?t=F F b b(?+j?)=?f(t)e-?t=令令s=?+j?,d?=ds/j，有5.1拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对F b(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为F b(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域只有选择适当的?值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。 使f(t)拉氏变换存在?的取值范围称为F b(s)的收敛域。 下面举例说明F b(s)收敛域的问题。 5.1拉普拉斯变换例例1因果信号f1(t)=e?t?(t)，求其拉普拉斯变换。 解解可见，对于因果信号，仅当Res=?时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。 S平面（复数平面）收敛域收敛边界5.1拉普拉斯变换例例2反因果信号f2(t)=e?t?(-t)，求其拉普拉斯变换。 解解可见，对于反因果信号，仅当Res=? 收敛域如图所示。 5.1拉普拉斯变换例例3双边信号求其拉普拉斯变换。 求其拉普拉斯变换。 解解其双边拉普拉斯变换F b(s)=F b1(s)+Fb2(s)仅当?时，其收敛域为为? 5.1拉普拉斯变换例例4求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)=e-3t?(t)+e-2t?(t)f2(t)=e-3t?(t)e-2t?(t)f3(t)=e-3t?(t)e-2t?(t)解解Res=?2Res=?33 双边拉氏变换必须标出收敛域。 5.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。 这样，t?，可以省略。 本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换简记为F(s)=?f(t)f(t)=?-1F(s)或或f(t)F(s)?满足下列条件的因果函数f(t)存在拉普拉斯变换，其收敛域为以右，即的半平面 （1）f(t)在有限区间a （2）对于某个，有5.1拉普拉斯变换 四、常见函数的拉普拉斯变换 1、?(t)1，?- 2、?(t)1/s，? 03、指数函数e s0t?(t)?Res0?例求矩形脉冲信号的象函数解|F(s)|随复变量s(,)变化的曲面图，称为F(s)的幅度曲面图画图?信号g2(t-1)的|F(s)|(,),|F(jw)|w关系5.1拉普拉斯变换 五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Res?0要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标?0的值可分为以下三种情况（ （1）?0-2；则则F(j?)=1/(j?+2)5.1拉普拉斯变换（ （2）?0=0，即即F(s)的收敛边界为j?轴，如如f(t)=?(t)F(s)=1/s=?(?)+1/j?（ （3）?00，F(j?)不存在。 例例f(t)=e2t?(t)F(s)=1/(s2),?2；其傅里叶变换不存在。 5.2拉普拉斯变换性质5.2拉普拉斯变换性质 一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res?1,f2(t)F2(s)Res?2则则a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(?1,?2)例例1f(t)=?(t)+?(t)1+1/s，?0例例2cos(t)?(t)F(s)=?sin(t)?(t)F(s)=?cos(t)?(t)sin(t)?(t)?0?0 二、尺度变换若f(t)F(s),Res?0，且有实数a0，则则f(at)Resa?05.2拉普拉斯变换性质例如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42F(2s)5.2拉普拉斯变换性质 三、时移（延时）特性若若f(t)F(s),Res?0,且有实常数t00,则则f(t-t0)?(t-t0)e-st0F(s),Res?0与尺度变换相结合f(at-t0)?(at-t0)例例1:求以下信号的单边拉氏变换。 解f1(t)=?(t)?(t-1)F1(s)=5.2拉普拉斯变换性质例例2:已知f1(t)F1(s),求求f2(t)F2(s)解f2(t)=f1(0.5t)f10.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f10.5(t-2)2F1(2s)e-2s f2(t)2F1(2s)(1e-2s)例例3求以下信号的拉氏变换?T(t)1/(1e-sT)5.2拉普拉斯变换性质 四、复频移（s s域平移）特性若f(t)F(s),Res?0,且有复常数s a=?a+j?a,则则f(t)e s a tF(s-sa),Res?0+?a例例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求求e-t f(3t-2)的象函数。 解f(3t-2)e-t f(3t-2)5.2拉普拉斯变换性质 五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)F(s),Res?0,则则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(t)s3F(s)s2f(0-)sf(0-)-f(0-)f(n)(t)s nF(s)若若f(t)为因果信号，则f(n)(t)s nF(s)例例1:?(n)(t)?例例2:例例3:双边信号做单边拉氏变换初始值不同单边信号做单边拉氏变换5.2拉普拉斯变换性质 六、时域积分特性（积分定理）若f(t)F(s),Res?0,则例例1:t?(t)?t2?(t)?5.2拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s)解对f(t)求导得f(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t2)(t2)F1(s)结论若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)F n(s)则f(t)F n(s)/s n5.2拉普拉斯变换性质 七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)F1(s),Res?1,f2(t)F2(s),Res?2则f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理例例1t(t)?例例5.2-9t(t)=(t)*(t)5.1拉普拉斯变换周期信号f T(t)的拉氏变换5.2拉普拉斯变换性质 八、s s域微分和积分若f(t)F(s),Res?0,则例例1t2e-2t?(t)?e-2t?(t)1/(s+2)t2e-2t?(t)5.2拉普拉斯变换性质例例2例例35.2拉普拉斯变换性质 九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含?(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），则则终值定理若若f(t)当t时存在，并且f(t)F(s),Res?0,?00，则5.2拉普拉斯变换性质例例1例例25.3拉普拉斯逆变换5.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表（ （2）利用性质 （3）部分分式展开-结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若若mn（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 5.3拉普拉斯逆变换由于L L-11=?(t)，L L-1s n=?(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法若若F(s)是s的实系数有理真分式（m n个特征根p i称为F(s)的的极点。 5.3拉普拉斯逆变换（ （1）F(s)有单实极点（单实根）例1:5.3拉普拉斯逆变换5.3拉普拉斯逆变换例2:5.3拉普拉斯逆变换5.3拉普拉斯逆变换F(s)有一对单共轭复根(p1,2=?j?)K2=K1*f1(t)=2|K1|e-?t cos(?t+?)?(t)若写为K1,2=AjB f1(t)=2e-?tAcos(?t)Bsin(?t)?(t)5.3拉普拉斯逆变换例33=5.3拉普拉斯逆变换另一形式5.3拉普拉斯逆变换例例4求象函数F(s)的原函数f(t)。 解A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=?j1，s5,6=1?j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1K3=(sj)F(s)|s=j=j/2=(1/2)e j(?/2),K4=K3*=(1/2)e-j(?/2)K5=(s+1j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*5.3拉普拉斯逆变换（ （2）F(s)有重极点（重根）若若A(s)=0在s=p1处有r重根，K11=(sp1)r F(s)|s=p1，K12=(d/ds)(sp1)r F(s)|s=p15.3拉普拉斯逆变换举例:5.3拉普拉斯逆变换5.4复频域分析5.4复频域系统分析 一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y (1)(0-),，y(n-1)(0-)。 思路用拉普拉斯变换微分特性若若f(t)在t=0时接入系统，则f(j)(t)s jF(s)5.4复频域分析例例1描述某LTI系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6f(t),已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励f(t)=5cost?(t)，求系统的全响应y(t).解方程取拉氏变换，并得y(t)，y x(t)，y f(t)s域的代数方程Y x(s)Y f(s)s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+5sY(s)-5y(0-)+6Y(s)=2sF(s)+6F(s)(S2+5s+6)Y(s)-sy(0-)-y(0-)-5y(0-)=(2s+6)F(s)5.4复频域分析y(t)=2e2t?(t)e3t?(t)-4e2t?(t)+y x(t)y f(t)暂态分量y t(t)稳态分量y s(t)Y x(s)Y f(s)例例5.4-15.4复频域分析 二、系统函数系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。 y f(t)=h(t)*f(t)H(s)=Lh(t)Y f(s)=Lh(t)F(s)?S域基本问题分析求解方法f(t)y zs(t)=?y zs(t)=f(t)*h(t)Y zs(jw)=F(jw)H(jw)Y zs(s)=F(s)H(s)步骤:1.f(t)F(s)2.H(s)=?3.Y zs(s)=F(s)H(s)4.Y zs(s)y zs(t)h(t)?求H(s)的方法:1.2.微分方程系数决定3.h(t)H(s)例例5.4-55.4复频域分析例例5.4-6已知当输入f(t)=e-t?(t)时，某LTI因果系统的零状态响应:y f(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)?(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解解h(t)=(4e-2t-2e-3t)?(t)微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)s2Y f(s)+5sY f(s)+6Y f(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换y f(t)+5y f(t)+6y f(t)=2f(t)+8f(t)5.4复频域分析 三、系统的s域框图时域框图基本单元f(t)a f(t)y(t)=a f(t)s域框图基本单元s1F(s)Y(s)=s1F(s)a F(s)Y(s)=a F(s)f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)+5.4复频域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3如图框图，列出其微分方程解解画出s域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s域的代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t)再求h(t)?5.4复频域分析 四、电路的s域模型对时域电路取拉氏变换 1、电阻u(t)=R i(t) 2、电感U(s)=sLI L(s)Li L(0-)U(s)=R I(s)元件的的s域域模型5.4复频域分析 3、电容I(s)=sCU C(s)Cu C(0-) 4、KCL、KVL方程i s(t)L U(t)已知Uc(0-)=0,i L(0-)=0,C=0.5,L=0.5,i s(t)=(t),求Y zs(t)=?解i s(t)=(t)I(