导数问题精选

大东方（汉渝路）2014高三寒假数学讲座5 寒假多努力 高考多奇迹 第五讲：导数问题精选1若函数的图像关于直线对称，则的最大值 为_.2已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.（）求，的值；（）若2时，求的取值范围.3已知函数。（）设是的极值点，求并讨论的单调性；（）当时，证明0。4已知函数. () 求函数f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.5已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。6已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.7已知函数. () 若直线ykx1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; () 设x0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. () 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. 8已知函数（I）求证： （II）若取值范围.9已知函数（I）若时，求的最小值；（II）设数列10设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.11已知函数=，其中a0.（1） 若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合. （2）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 12设函数(其中). () 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.13已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。（）求k的值；（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x0，。14已知，函数。（I）；记求的表达式；（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。【解析】() （II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且。不妨所以，当时，函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)15已知函数，为常数且.(1) 证明：函数的图像关于直线对称；(2) 若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点试确定的取值范围；(3) 对于（2）中的和， 设x3为函数f（f（x）的最大值点，A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0），记ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.16设函数.（）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。17已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。解：（I）由已知得，交点的坐标为，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，则3分（II）由（I）知，则成立的充要条件是即知，对所有成立，特别地，取得到当，时，当时，显然故时，对所有自然数都成立所以满足条件的的最小值为.8分（III）由（I）知，则下面证明：首先证明：当时，设函数则当时，；当时，故在区间上的最小值所以，当时，即得由知，因此，从而14分18已知，函数(1)求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的最大值。解：（）由已知得：，且，所以所求切线方程为：，即为：；（）由已知得到：，其中，当时，（1）当时，所以在上递减，所以，因为；（2）当，即时，恒成立，所以在上递增，所以，因为；（3）当，即时，且，即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以，且所以，所以；由，所以（）当时，所以时，递增