人教版八年级数学下册全套教案

人教版八年级数学下册全套教案 第十六章二次根式本章概述本节共分二次根式、二次根式的乘除、二次根式的加减三节内容第1节研究二次根式的概念和性质，教材通过几个具体问题，引导学生用平方根和算术平方根的知识写出结果，并概括它们的共同特征，从而引出二次根式的概念.第2节是二次根式的乘除运算.教材通过“研究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳出二次根式的乘、除法法则.第3节是二次根式的加减运算.教材利用了分配率，采用归纳的方法，从特殊到一般，引导学生概括出二次根式加减法法则.教学目标1了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由.2.了解最简二次根式的概念3.理解二次根式的性质a0(a0)；(a)2a（a0）；2aa（a0）4.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用教学关键1潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点2培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神课时安排本单元教学时间约需9课时，具体分配如下16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘法3课时16.3二次根式的加减2课时教学活动、习题课、小结2课时第第1课时教学目标1.了解二次根式的概念，并利用a(a0)的意义解答具体题目2.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系3.经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力.教学重点形如a(a0)的式子叫做二次根式的概念.教学难点利用“a(a0)”解决具体问题教学过程 一、导入新课电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广电视塔高h（单位km）与电视节目信号的传播半径r（单位km）之间存在近似关系rRh2，其中R是地球半径，R6400km如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是2122RhRh你能将这个式子化简吗？问题式子2122RhRh表示什么？等式rRh2中的Rh2表示什么意义？教师引导学生讨论，通过讨论让学生发现式子2122RhRh和整式运算、分式运算一样，也是一种运算.只有认识了Rh2的意义，才能进一步研究这类式子的性质和运算. 二、新课教学思考1.面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为.2.一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为m.3.一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位s）与开始落下时离地面的高度h（单位m）满足关系h5t2如果用含有h的式子表示t，那么t为上面问题的结果分别是 3、S、 65、5h，它们表示一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式一般地，我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号学生活动议一议1在实数范围内，1有平方根吗？20的算术平方根是多少？3当a0）、 0、 42、 2、1x y?、x y?（x0，y0）解二次根式有 2、x（x0）、 0、- 2、x y?（x0，y0）；不是二次根式的有 33、1x、 42、1x y? 三、课堂训练填空1形如_的式子叫做二次根式2面积为a的正方形的边长为_3在实数范围宁内，负数_平方根参考答案1.a(a0)2.a3.没有 四、归纳小结1形如a(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 六、布置作业习题16.1第 1、5题第第2课时教学目标1.理解a(a0)是一个非负数和(a)2a（a0）、2aa（a0），并利用它们进行计算和化简2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a(a0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2a（a0）；最后运用结论严谨解题3.通过具体数据的解答，探究2aa（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重点1理解a(a0)是一个非负数.2.(a)2a（a0），2aa（a0）及其运用教学难点1对a(a0)是一个非负数的理解.2.对等式(a)2a（a0）及2aa（a0）的理解及应用教学过程 一、导入新课教师口述并板书上节课的内容形如a（a0）的式子叫做二次根式；a（a0）是一个非负数. 二、探究新知探究1根据算术平方根的意义填空 (4)2_； (2)2_； (31)2_； (0)2_教师引导学生思考4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有 (4)24同理可以得到其他三个答案 (2)22， (31)231， (0)20一般地(a)2a（a0）探究2根据算术平方根的意义填空22_；21.0_；2)32(_；20_通过计算我们可以得到222，21.00.1，2)32(32，200一般地，根据算术平方根的意义，2aa（a0） 三、实例探究例1计算1(5.1)2；2 (25)2.解1(5.1)21.5；2 (25)222 (5)24520.例2化简116；22)5(?.解116244；22)5(?255.例3填空当a0时，2a_；当aa，则a可以是什么数？分析因为2aa（a0），所以要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a0时，2a2)(a?，那么-a01.根据结论求条件；2.根据第二个填空的分析，逆向思想；3.根据 1、2可知2aa，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa，a0综上，a、0)和baba(a0，b0)及利用它们进行运算2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简3.发展有条理的思考和语言表达能力，培养化归的数学思想.教学重点理解baba(a0，b0)和baba(a0，b0)及利用它们进行运算教学难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程 一、复习引入教师引导学生复习上节内容，由此导入对二次根式的除法法则的学习. 二、新课学习探究计算下列各式，观察运算结果，看看有什么规律？ （1）916_，916_； （2）1636_，1636_； （3）416_，416_； （4）3681_，3681_参考上面的结果，用“、0).例1计算 （1）123； （2）3128?； （3）11416?； （4）648解 （1）12312342； （2）3128?8123?823?43?223?23； （3）11416?111164164?42； （4）648648822教师通过上面的例题，你们发现什么规律吗？学生讨论，师生共同总结把baba反过来，就得到baba(a0，b0)，利用它可以进行二次根式的化简例2化简 （1）364； （2）22649ba； （3）2964xy； （4）25169xy分析直接利用baba(a0，b0)就可以达到化简之目的解 （1）36433864?； （2）22649ba2264839b baa?； （3）2964xy293864x xyy?； （4）25169xy25513169x xyy?例3计算 （1）53； （2）2723； （3）a28.解 （1）解法153535553?25152515515；解法2535553?2)5(15515. （2）272333232?33232?323332?36. （3）a28a aa2228?aa24aa2. 三、巩固练习教材第10页练习第1题 四、归纳小结掌握baba(a0，b0)和baba(a0，b0)及利用它们进行运算 五、布置作业1习题16.2第 2、 8、9题2选用课时作业设计第第3课时教学目标教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求教学重点最简二次根式的运用教学难点会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程 一、复习引入学生活动请三位同学上台板书，完成下列各题. （1）35； （2）3227； （3）82a参考答案35155，322763，82a2aa 二、新课教学观察上面的最后结果，我们可以发现这些式子有如下两个特点 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式例1设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S23，b10，求a.解因为Sab，所以abS103210101032?530.例2电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广电视塔高h（单位km）与电视节目信号的传播半径r（单位km）之间存在近似关系rRh2，其中R是地球半径，R6400km如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是2122RhRh这个式子是最简二次根式吗？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐34个人到黑板上板书师生总结不是2122RhRh2122h RhR?21hh2221h hh h?221hhh.通过化简，我们哭看到，这个比与地球的半径无关.这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值. 三、巩固练习教材第10页练习第 2、3题. 四、归纳小结本节课应掌握最简二次根式的概念及其运用 五、布置作业习题16.2第 3、 7、10题16.3二次根式的加减第1课时教学目标1使学生了解同类二次根式的概念，加深对最简二次根式的概念的了解.2能判断二次根式中的同类二次根式.3能够利用同类二次根式进行二次根式的加减运算.教学重点同类二次根式的识别.教学难点二次根式的化简.教学过程 一、导入新课复习引入1.什么样的二次根式叫做最简二次根式？2.12与32的形式与实质是什么？3.12可以化简为32吗？3532?可以化简吗？7512?可以化简吗？这就是本节课研究的内容二次根式的加减法. 二、新课教学1复习整式的加减运算计算 （1）a a52?； （2）b aab b a2243?； （3）?2225x x x x?.小结整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算2计算 （1）3532?； （2）7512?解 （1）?373523532?； （2）?3735235327512?小结如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算定义几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式3实例探究例1下列各式中，哪些是开方数相同的二次根式？2，48，21，271，3，3832ab，bab26解略例2计算 （1）3241182182?； （2）4832714122?解 （1）3241182182?22921234222324?； （2）4832714122?3914031294431239434?二次根式加减法的法则二次根式相加减，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变4练习巩固计算 （1）6813222124?； （2）?75813125.032解 （1）6813222124?624163222162?2412161322?243635? （2）?75813125.0323524133222124?3325241214?33132417? 三、课堂总结同类二次根式的定义二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题 四、布置作业习题16.3第 1、 2、 3、5题第第2课时教学目标1会用同类二次根式进行二次根式的加减2通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力3从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想教学重点二次根式的加减法运算教学难点二次根式的化简教学过程 一、导入新课复习提问同类二次根式的定义是什么？二次根式加减法的法则有那些？加减运算中注意的问题是什么？由此导入新课的教学. 二、新课教学1.实例探究例1计算 （1）xxxx1246932?； （2）232282xy x x?； （3）yyxyxx1241?； （4）?4619322xxxx x x解 （1）xxxx1246932?x x x x x3232? （2）232282xy x x?x y x xy x x x222122222? （3）yyxyxx1241?y xy xy x321212? （4）?4619322xxxx x x?x x x xxxxxxxxx43232?小结二次根式加减运算的步骤 （1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号 （2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简 （3）合并同类二次根式2.练习巩固例2当9?x，41?y时，求代数式3223692y y y xxx?的值解3223692y y y xxx?226912y yyxxx?2231yyxx?yyxx?31当9?x时，41?y时，原式?41413919?852281124?例3已知414.12?，求下列各式的近似值（精确到0.01） （1）28324123?； （2）?2152850解 （1）282528324123?当414.12?时，原式42.4414.1825? （2）?215285025142512225?当414.12?时，原式96.3414.1514?注意求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值 三、课堂总结正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好以下几个环节去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等 四、布置作业习题16.3第 4、7题第十七章勾股定理本章概述本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识本章分为两节，第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾股定理的逆定理及其应用在第17.1节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程在第17.2节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(SSS)证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.4.通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感通过对于勾股定理及其逆定理的探索和交流，培养数学学习的自信心教学建议1.通过教学提高学生分析问题和解决问题的能力.2.围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心.3.适当总结和定理、逆定理有关的内容.课时安排本章教学时间约需9课时，具体安排如下（供参考）17.1勾股定理4课时17.2勾股定理的逆定理3课时数学活动小结2课时17.1勾股定理第第1课时教学目标1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力教学重点勾股定理的内容教学难点勾股定理的得出教学过程 一、导入新课课件展示图片相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系问题现在请你也观察一下，你能有什么发现？设计意图通过一个传说故事创设一个遐想的意境，使学生身临其境，感受数学知识和实际生活的联系，使学生以饱满的热情进入探索状态由此导入新课的教学. 二、新课教学思考下图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？学生观察图片，分组交流，发表自己的见解教师参与小组活动，指导、倾听学生交流，针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积在本次活动中，教师应重点关注给学生留出充分的时间思考和交流，鼓励学生大胆说出自己的看法学生能否准确挖掘出图形中的隐含条件，计算各个正方形的面积学生能否将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三边之间的关系，并用自己的语言叙述出来学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益师生总结可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系斜边的平方等于两直角边的平方和设计目的从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系，图案的运用对学生发现规律也有一定的提示作用追问等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？探究在教材第23页图17.1-3中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形，的面积，看看能得出什么结论教师引导学生计算图中6个正方形的面积，通过计算，可以发现；即以斜边为边长的正方形的面积，等于以两个直角边为边长的正方形的面积之和提示此处关键是计算以斜边为边长的正方形的面积以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2如右图 三、课堂练习1.如图，直角ABC的主要性质是C90，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系； （2）若D为斜边中点，则斜边中线； （3）若B30，则B的对边和斜边的关系； （4）三边之间的关系2ABC的三边a、b、c，若满足b2a2c2，则90；若满足b2c2a2，则B是角；若满足b2c2a2，则B是参考答案1 （1）AB90； （2）CD21AB； （3）AC21AB； （4）AC2BC2AB22B，钝角，锐角 四、课堂小结我们用几何的方法得出了命题1，下节课我们对它进行证明 五、布置作业习题17.1第 1、2题第第2课时教学目标1.掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习教学重点勾股定理的证明教学难点勾股定理的证明教学过程 一、导入新课复习、回忆上节内容，导入对新课的教学 二、新课教学1.古人赵爽的证法如下图，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”赵爽根据此图指出四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下如下图 （1），把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2b2；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）把图 （1）中左、右两个三角形移到图 （2）中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 （3）因为图 （1）与图 （3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等因此，a2b2c2这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理教师也可利用多媒体课件的演示，更直观、形象的向学生介绍用拼接、割补图形，计算面积的证明方法，让学生认识到证明的必要性、结论的确定性，感受到前人的伟大和智慧2勾股定理的其他证明方法方法一将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.则?.21422ab c b a?所以，.222c b a?方法二将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.则c2421ab(ba)2所以，a2b2c2方法三美国第20任总统的证明方法如图所示将三个直角三角形拼成直角梯形.即3个三角形的面积之和梯形的面积.?2212122bab acab?；所以，222cba?以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导，最后总结说明3.勾股定理的运用 （1）知道两直角边可求斜边，应用公式a2b2c2 （2）知道斜边和一直角边，可求另一直角边，应用公式a2b2c2 三、实例探究例已知在ABC?中，?90ACB，c AB?，a BC?，b AC?，2?BC，?30A.求AC与AB分析在RtABC中，已知BC长和?30A，求其他两边，可先求出AB的长，进而使用勾股定理求出AC的长解答在RtABC中，A30（已知），AB2BC4（Rt中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）根据勾股定理32242222?a cb.ABC中，AB4，32?AC说明在直角三角形中，求边长的时候，经常会涉及到勾股定理，而勾股定理是已知两边求第三边，因此，在条件不足时，可以根据已知去发现和创造条件 四、课堂练习1填空 （1）直角三角形的两条直角边长分别为 3、4，则斜边长为. （2）直角三角形的两条直角边长分别为 5、12，则斜边长为. （3）等腰直角三角形的腰长是1，则底边长为.2把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3设计意图通过练习使学生学会运用定理内容，培养学生思维的流畅性，体验变换思想参考答案1. （1）5 （2）13 （3）22.B 五、布置作业习题17.1第 3、7题第第3课时教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题.2树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的应用.教学难点实际问题向数学问题的转化.难点的突破方法数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.教学过程 一、导入新课教师引导学生回忆勾股定理及其证明，导入今天的教学 二、新课教学例1一个门框的尺寸如下图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过解在RtABC中，根据勾股定理，AC2AB2BC212225.AC252.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过例2如下图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？解可以看出，BDODOB在RtAOB中，根据勾股定理，OB2AB2OA22.622.421OB11在RtCOD中，根据勾股定理，OD2CD2OC22.62(2.40.5)23.15OD15.31.77，BDODOB1.7710.77所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m 三、巩固练习例已知（如图）在ABC中，B45，C30，AB2.求AC的长.解过A作ADBC于E，则BADB45ABADAD2BD2AB2又AB2，AD1C30，ADC90，AC2AD2 四、课堂练习教材第26页练习 1、2练习答案1.57m；2.41 五、布置作业习题17.1第 5、9题第第4课时教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题.2树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的综合应用.教学难点勾股定理的综合应用.难点的突破方法1.数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质.2.分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力.3.作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力.4.优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.教学过程 一、导入新课在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 二、新课教学教师引导学生讨论，证明先画出图形，再写出已知、求证如下已知如图，在RtABC和RtABC中，CC90，ABAB，ACAC求证?ABCABC证明在RtABC和RtABC中，CC90，根据勾股定理，得BC22AC AB?，BC22C AB A?又ABAB，ACAC，BCBC?ABCABC（SSS）探究我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？利用勾股定理，我们可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为13.由此，可以依照如下方法，在数轴上画出表示13的点如下图，在数轴上找出表示3的点A，则OA3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点类似地，利用勾股定理，可以作出长为2，3，5，的线段(下左图)按照同样方法，可以在数轴上画出表示，1，2，3，4，5，的点(下右图). 三、课堂练习教材第27页练习 1、2 四、布置作业习题17.1第 6、13题17.2勾股定理的逆定理第1课时教学目标1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理2探究勾股定理的逆定理的证明方法3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系教学重点掌握勾股定理的逆定理及证明教学难点勾股定理的逆定理的证明教学过程 一、导入新课复习勾股定理，让学生说出它的题设和结论，从而导入对新课的教学 二、教学过程我们知道，如果一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2反过来，如果一个三角形具有a2b2c2的数量关系，能否确定这个三角形就是直角三角形呢？问题据说，古埃及人用下图的方法画直角把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为这个结论正确吗？这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“324252”，那么围成的三角形是直角三角形师生活动教师引导学生测量教材中的三角形的度数，并计算三边长的关系实验操作 （1）画画看如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52626.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试 （2）量一量用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数 （3）想一想这些三角形是直角三角形吗？教师指导学生按照要求画出三角形，然后计算三边的数量关系，最后度量三角形最大角的度数发现做大角是90进而提出猜想命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形证明勾股定理的逆定理要证明一个命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证，然后再证明已知如下左图，ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2b2c2求证?ABC一定是直角三角形分析我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果ABC与这个直角三角形全等，那么ABC就是一个直角三角形证明如上右图，画一个RtABC，使BCa，ACb，C90根据勾股定理，AB2BC2AC2a2b2c2，得ABc在ABC和ABC中，BCaBC，ACbAC，ABcAB，所以ABCABC因此CC90，即ABC是直角三角形这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理 三、课堂练习1.在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形（）A.5，13，12B.9，40，41C.4，7，5D.7，24，252.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为三角形参考答案1.C2.直角三角形 四、布置作业教材第33页练习第 1、2题第第2课时教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形2灵活应用勾股定理及逆定理解决问题3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识教学重点利用勾股定理及逆定理解决问题教学难点利用勾股定理及逆定理解决问题教学过程 一、导入新课教师复习上节内容，让学生复述勾股定理的逆定理从而导入新课的教学 二、新课教学例1判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形 （1）a15，b8，c17； （2）a13，b14，c15分析根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方解 （1）因为1528222564289，172289，所以15282172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形 （2）因为132142169196365，152225，所以132142152，这个三角形不是直角三角形.例2已知a、b、c，为ABC的三边，且满足a2b2c233810a24b26c求证这个三角形是直角三角形分析要证明ABC是直角三角形，应从它的三边a、b、c入手，如果有关系a2b2c2或b2c2a2或c2a2b2成立，那么这个三角形一定是直角三角形.从已知条件，可以求出a、b、c的长解答由已知可得a2b2c210a24b26c3380a210a25b224b144c226c1690即(a5)2(b12)2(c13)20(a5)20，(b12)20，(c13)20a50，b120，c130即a5，b12，c1352122132，则a2b2c2ABC是直角三角形说明直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断 三、课堂练习设ab，如果ab，ab是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形答案2222ba? 四、布置作业习题17.2第4题第第3课时教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识教学重点灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题教学难点灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题教学过程 一、导入新课复习勾股定理及其逆定理，并指出在实践中的应用，导入新课的教学 二、新课教学例如右图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海天”号每小时航行12n mile它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30n mile如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析在上图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了解根据题意，161.524，PR121.518，QR30因为242182302，即2PR2QR2，所以QPR90由“远航”号沿东北方向航行可知，145因此245，即“海天”号沿西北方向航行 三、综合运用如下图，在正方形ABCD中，E是BC的中点F是CD上一点，且CF41CD求证AEF90分析要证AEF90，即证AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，可证AF2AE2EF2，可通过在RtABE，RtECF，RtADF中分别计算出AE，EF，AF的长证明设正方形ABCD的边长为4a，则CFa，DF3a，BECE2a在RtABE中，AE2AB2BE2(4a)2(2a)220a2在RtECF中，EF2CE2CF2(2a)2a25a2在RtADF中，AF2AD2DF2(4a)2(3a)225a2由勾股定理的逆定理可知AEF是直角三角形，且AF为最大边AEF90说明证明某个三角形中的两条边垂角，而三条边的长度为已知，则常用勾股定理的逆定理来证明该三角形为直角三角形. 四、布置作业习题17.2第5题第十八章平行四边形本章概述本章分为平行四边形、特殊的平行四边形两节是在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力第18.1节主要是研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念；作为性质定理和判定定理的应用，探索并证明三角形中位线定理第18.2节首先研究特殊的平行四边形矩形和菱形，在此基础上，进一步研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，又是有一组邻边相等的特殊矩形，所以正方形具有各种四边形所具有的性质最后给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质和判定方法教学目标1理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系2探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算3了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离4探索并证明三角形中位线定理5通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力6通过平行四边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力7通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识特殊与一般的关系课时安排本章教学时间约需15课时，具体安排如下18.1平行四边形7课时18.2特殊的平行四边形6课时数学活动小结2课时18.1平行四边形第第1课时教学内容平行四边形的性质教学目标1.理解并掌握平行四边