2007年高考理科数学试题及参考答案(山东卷)

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 数数 学 文科 学 文科 第第 卷 共卷 共 60 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 选择一个符合题目要求的选项 选择一个符合题目要求的选项 1 复数的实部是 43i 1 2i A 2 B 2 C 3 D 4 2 已知集合 则 1 1 11 24 2 x MNxx Z MN A 11 B 0 C 1 D 10 3 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 A B C D 4 要得到函数的图象 只需将函数的图象 sinyx cosyx A 向右平移个单位 B 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D 向左平移个单位 5 已知向量 若与垂直 则 1 1 nn ab2ab b a A 1 B 2 C 2 D 4 6 给出下列三个等式 下列函数中 f xyf xf yf xyf x f y 1 f xf y f xy f x f y 不满足其中任何一个等式的是 A 3xf x B sinf xx C 2 logf xx D tanf xx 7 命题 对任意的 的否定是 32 10 xxx R A 不存在 32 10 xRxx B 存在 32 10 xRxx C 存在 32 10 xRxx D 对任意的 32 10 xRxx 8 某班 50 名学生在一次百米测试中 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间 将测试结果按 如下方式分成六组 每一组 成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒 第二组 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒 第六组 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒 右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图 设成绩小于 17 秒的学生人数占全班人数的百分比为 x 成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 则从频率分布直方图中可以分析出y 和分别为 xy A 0 9 35 B 0 9 45 C 0 135 D 0 145 9 设是坐标原点 是抛物线的焦点 是抛物线上的一点 OF 2 2 0 ypx p A 与轴正向的夹角为 则为 FA x60 OA A 21 4 p B 21 2 p C 13 6 p D 13 36 p 10 阅读下边的程序框 若输入的是 100 则输出的变量和的值依次是 nST A 2550 2500 B 2550 2550 C 2500 2500 D 2500 2550 11 设函数与的图象的交点为 3 yx 2 1 2 x y 00 xy 则所在的区间是 0 x A 01 B 12 C 2 3 D 3 4 12 设集合 分别从集合和中随机取一个数和 确定平 12 12 3 AB ABab 面上的一个点 记 点落在直线上 为事件 P ab P ab xyn 若事件的概率最大 则的所有可能值为 25 n Cnn N n Cn A 3 B 4 C 2 和 5 D 3 和 4 第第 卷 共卷 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 答案须填在题中横线上 分 答案须填在题中横线上 13 设函数 则 1 f x 2 1 x 1 2 xxf 2 3 xxf 123 2007 fff 14 函数的图象恒过定点 若点在直线 1 01 x yaaa AA 上 则的最小值为 10 0 mxnymn 11 mn 15 当时 不等式恒成立 则的取值范围是 12 x 2 40 xmx m 16 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的20 xy 22 1212540 xyxy 标准方程是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在中 角的对边分别为 ABC ABC tan3 7abcC 1 求 cosC 2 若 且 求 5 2 CB CA A9ab c 18 本小题满分 12 分 设是公比大于 1 的等比数列 为数列的前项和 已知 且 n a n S n an 3 7S 构成等差数列 123 334aaa 1 求数列的等差数列 n a 2 令求数列的前项和 31 ln12 nn ban n bn n T 19 本小题满分 12 分 本公司计划 2008 年在甲 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告 广告总费 用不超过 9 万元 甲 乙电视台的广告收费标准分别为元 分钟和 200 元 分钟 规定500 甲 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告 能给公司事来的收益分别为 0 3 万元和 0 2 万元 问该公司如何分配在甲 乙两个电视台的广告时间 才能使公司的收益最大 最 大收益是多少万元 20 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱中 1111 ABCDABC D 已知 1 22DCDDADAB ADDCABDC 1 求证 11 DCAC 2 设是上一点 试确定的位置 使平面 并说明理由 EDCE 1 D E 1 ABD 21 本小题满分 12 分 设函数 其中 2 lnf xaxbx 0ab 证明 当时 函数没有极值点 当时 函数有且只有一0ab f x0ab f x 个极值点 并求出极值 22 本小题满分 14 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 椭圆上的点到焦点距离的最大值CxC 为 3 最小值为 1 1 求椭圆的标准方程 C 2 若直线与椭圆相交于两点 不是左右顶点 且 l ykxm CAB AB 以为直径的图过椭圆的右顶点 求证 直线 过定点 并求出该定点的坐标 ABCl 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 数数 学 文科 学 文科 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 二 填空题二 填空题 13 1 2007 14 4 15 5m 16 22 2 2 2xy 三 解答题三 解答题 17 解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又 22 sincos1CC 解得 1 cos 8 C 是锐角tan0C C 1 cos 8 C 2 5 2 CB CA A 5 cos 2 abC 20ab 又9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 18 解 1 由已知得 123 13 2 7 3 4 3 2 aaa aa a 解得 2 2a 设数列的公比为 由 可得 n aq 2 2a 13 2 2aaq q 又 可知 3 7S 2 227q q 即 2 2520qq 解得 12 1 2 2 qq 由题意得12qq 1 1a 故数列的通项为 n a 1 2n n a 2 由于 31 ln12 nn ban 由 1 得 3 31 2 n n a 3 ln23 ln2 n n bn 又 1 3ln2 nnn bb 是等差数列 n b 12nn Tbbb 2ln 2 1 3 2 2ln32ln3 2 1 nn nn bbn n 故 3 1 ln2 2 n n n T 19 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟 总收益为xy 元 由题意得z 300 50020090000 00 xy xy xy 目标函数为30002000zxy 二元一次不等式组等价于 300 52900 00 xy xy xy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作直线 300020000lxy 即320 xy 平移直线 从图中可知 当直线 过点时 目标函数取得最大值 llM 联立解得 300 52900 xy xy 100200 xy 点的坐标为 M 100 200 元 max 30002000700000zxy 答 该公司在甲电视台做 100 分钟广告 在乙电视台做 200 分钟广告 公司的收益 最大 最大收益是 70 万元 20 1 证明 在直四棱柱中 1111 ABCDABC D 连结 1 C D 1 DCDD 四边形是正方形 11 DCC D 11 DCDC 又 ADDC 1 DDAD DDDDC 1 平面 AD 11 DCC D 平面 1 DC 11 DCC D 1 ADDC 平面 1 ADDC 1 ADC 且DDCAD 1 平面 1 DC 1 ADC 又平面 1 AC 1 ADC 1 DCAC 1 2 连结 连结 1 ADAE 设 11 ADADM 连结 BDAEN MN 平面平面 1 AD E 1 ABDMN 要使平面 1 D E 1 ABD 须使 1 MND E 又是的中点M 1 AD 是的中点N AE 又易知 ABNEDN ABDE 即是的中点EDC 综上所述 当是的中点时 可使平面EDC 1 D E 1 ABD 21 证明 因为 所以的定义域为 2 ln0f xaxbxab f x 0 fx 2 2 2 baxb ax xx 当时 如果在上单调递增 0ab 00 0 abfxf x 0 如果在上单调递减00 0 abfxf x 0 所以当 函数没有极值点0ab f x 当时 0ab 2 22 bb a xx aa fx x 令 0fx 得 舍去 1 0 2 b x a 2 0 2 b x a 当时 随的变化情况如下表 00ab fxf x x 从上表可看出 函数有且只有一个极小值点 极小值为 f x1 ln 222 bbb f aa 当时 随的变化情况如下表 00ab fxf x x x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x A 极大值A 从上表可看出 函数有且只有一个极大值点 极大值为 f x1 ln 222 bbb f aa 综上所述 当时 函数没有极值点 0ab f x 当时 0ab 若时 函数有且只有一个极小值点 极小值为00ab f x 1 ln 22 bb a 若时 函数有且只有一个极大值点 极大值为00ab f x x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x A 极小值A 1 ln 22 bb a 22 解 1 由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由已知得 31acac 3 1 2 222 cab ca 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy 2 设 1122 A xyB xy 联立 22 1 43 ykxm xy 得 则 222 34 84 3 0kxmkxm 222222 12 2 2 12 2 6416 34 3 0340 8 34 4 3 34 m kkmkm mk xx k m x x k 即 又 22 22 12121212 2 3 4 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点 A