数学人教版七年级上册课题：再探实际问题与一元一次方程----销售问题.doc

授之以鱼，不如授之以渔前进九年制学校 李国斌背景介绍用二次函数知识解决实际应用问题一直以来是学生最害怕的问题，这不仅要求学生具有扎实的二次函数基础知识，还必须具备从实际问题中抽象出数学问题的数学建模思想，以及较高的分析问题、解决问题的能力。如何使学生消除这一心理，真正理解数学的本质？这一节二次函数与实际问题新课的授变的非常重要。这一节课的教学内容是用二次函数知识解决现实生活中的形如抛物线形的实际问题，教材中的教学内容只编排了一个探究题，这给广大教师留下了广阔的发挥余地。为了使学生带着问题、充满好奇地走进课堂，我利用多媒体放映了学生在生活中非常熟悉的形如抛物线形的生活场景，如跳绳、掷铅球、投篮、校园喷水池喷出的水花，校园中的小拱桥等等。然后引出了教材中的问题。因为前面已经学习里用二次函数知识解决实际问题，对于这一节课许多同学都能猜到本节课的实际问题还是用二次函数知识解决。但是让学生联想到用什么知识解决什么样的实际问题，使学生体验数学建模思想，是上好着节课的关键。情景描述出示如下问题后，让学生仔细读题，理解题意后，提出这么一个问题：谁能看出这个问题可以用什么知识解决？怎样解决？如图1是抛物线形拱桥，当水面在L处时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？对于这个问题许多学生觉得不屑。生：当然是二次函数，我们这几天都在学习二次函数知识嘛！师：同学们，你们能从题意中看出来吗？生一：题目中告诉我们拱顶离水面2米时，水面宽4米，问题是水面下降1米时水面宽度增加多少？说明这个问题的两个变量是水面的宽度与水面离拱顶的高度，但这两个变量具有怎样的关系，题目中并没有告诉我们。生二：老师，这两个变量之间关系虽然在题意中反映并不是很明显，但从图中可以看出这两个量在抛物线中，而且题目中告诉我们抛物线形拱桥，我想一定是用二次函数知识解决。生三：老师，这个问题实际上就是水面下降1m，也就是水面离拱顶是3m时，水面的宽度，噢！这个宽度就是抛物线上两点之间的距离，只要求出抛物线上到抛物线顶点的距离是3m时点的横坐标就可以了！（真是太好了！学生已经把实际问题转化为数学问题，而且找到了问题的突破口，学生的思维过程不正是数学建模的过程吗？我得把学生的这一建模过程清晰、明朗化，使学生学会分析题意，根据题意建立数学模型解决问题！）师：生三分析得非常好！在前几节课，我们已经学习了运用函数知识解决实际问题，这几节课所学的问题一样吗？建立函数关系的思路、方法一样吗？（这时马上有学生陷入了回忆、沉思之中）生四：老师，前两节课我们所学的都是根据题意找出两个变量之间的关系，如果第一节课中销售问题中的利润与价格之间的关系，是题意本身就蕴涵了一些数量关系，第二节课又可以根据图形中有关线段之间建立函数关系，而这个问题又是直接利用抛物线形图象解决问题。（真妙！学生根据不同题型已经分析出了建立函数关系的一般思路和方法，学生发现这一点的过程，实际上就是通过分析、比较后的数学建模过程！）师：建立函数关系的方法真的很多，如果实际问题中的几个变量本身就蕴涵一些数量关系的，可根据胜利数量关系建立函数关系，如果是有关几何图形的又可以根据图形中有关线段之间的关系建立函数关系。像今天所学的有关抛物线的实际问题，应该直接利用图象解决问题，同学们可要仔细分析，才能找到适当的方法解决问题哦！刚才生三讲了。解决这个问题要到图象中解决，如何利用图象解决呢？这时许多学生都不约而同地说：“如果能求出抛物线解析式就好了。师：怎样才能求出拱桥的抛物线解析式？要求抛物线解析式必须要建立平面直角坐标系，表示出一些点的坐标，那么坐标系应该建在哪儿呢？我们一起来试试看，好吗？生五：老师，我想把坐标原点放在抛物线顶点，因为这种方法求抛物线是最简单的！（生五是个懒惰而又聪明的学生，可“懒惰”的学生往往会想到最简捷的方法！）师：如果这样建立坐标系的话,只要已知几个点的坐标,你能把已知条件转化为点的坐标吗?(结合图2)生六:在这个坐标系中,水面宽4米,拱顶离水面2米时,实际上就告诉我们两个点的坐标(2,-2),(-2,-2),设抛物线解析式为y=ax ，只要取一个点的坐标代入解析式，就可以解决问题了。师：这种建立平面直角坐标系的方法非常简捷！还有其他方法想试一试吗？生七：老师，想把坐标系建立在水面，也就是横轴经过水面，纵轴经过抛物线顶点。师：这种方法，你能找到一些点的坐标吗？（结合3图）生八：能！我找到三个点的坐标，（-2，0），（2，0），（0，2），设交点式就能解决！（这时，学生都很激动，跃跃欲试，想找到更多的方法。）生九：我想把坐标系原点建在水面与拱桥的交点处！（图4）生十：我想把坐标系原点建在水底！（图5）生十一：横轴建在水底，纵轴建在其他任一地方吗？（图6）师：建立的坐标系位置是否可行，主要看能否找到一点的坐标，求相互抛物线解析式，这几位同学的方法是否可行 呢？生十二：把坐标系原点建在水面与拱桥的交点处，我能找到点的坐标（0，0），（4，0），（2，2），设顶点式或交点式都能解决。其实把坐标系原点在另一个水面与拱桥的交点处也可以。生十三：把坐标系原点放在水面与拱桥的 交点处，着种方式求出的解析式实际上是关于y轴对称的。（好家伙，马上就发现了两个图象与解析式之间的关系！）生十四：如果把坐标系原点放在水底的话必须要知道水的深度才能表示出点的坐标，可条件中没有告诉我们水深，所以这种方法不可行。生十五：还有如果把横轴建在水底，纵轴建在其他任一地方的话，必须要知道水的深度和原点到抛物线的水平距离。师：对于要利用图象解决的实际问题，通常要建立坐，建立坐标系的方法要有利于表示电的坐标，求出解析式。如果你建立的坐标系不利于表示点的坐标，说明建立坐标系的方法不当。分析与讨论用二次函数知识解决实际问题是初中阶级学习的一大难点，遇到实际问题学生往往无从下手，学生在解题过程中遇到一个新的问题该如何去联想？联想什么？怎样联想？这与课堂教学的过程中教师解题方法的讲授至关重要，教师在课堂教学过程中应如何引导学生半但、分析、归类。如何使学生真正领会数学建模思想呢？本节课李老师的教学给我们启迪颇多，李老师提的第一个问题：“用什么知识解决着个问题？”这个问题看似毫无价值。似乎在不经意中提出，“当然是二次函数知识，因为这段时间学生都在学习函数”学生的回答也让人感觉学生对此颇感不屑，如何让学生在以后碰到一大堆问题时能分析出用二次函数知识解决，这才是关键所在，“你能从题意中看出来吗？如果要用函数知识解决，则问题中必须蕴涵几个变量，这几个变量之间的关系能否从题意中挖掘呢？学生自然而然去题意中寻找信息，寻找失败后发现了图形的作用，这与前面所学的运用二次函数知识解决实际问题的方法完全不同！如何让学生去发现这个不同？实际上学生发现不同，构建新的方法的过程就是数学建模的过程，在这一过程中李老师处处体现着以学生为主体，教师的是组织者，引导者的作用，在李老师的引导下，学生经历了分析、观察、抽象，概括、发现新知的过程，并通过分析、比较的出这样的结论：如果实际问题中的几个变量本身就蕴涵一些数量关系的，可根据数量关系建立函数关系，如果是有几何图形，有可以根据图形中有关线段之间的关系建立函数关系，有抛物线形的实际问题，应该直接利用图象解决问题。这个过程使学生感悟到解决不同问题的不同思路、方法、策略。在如何建立平面直角坐标系解决实际问题的讨论过程中，李老师又把学生带进了方法的世界，使学生领略“条条道路通罗马”快乐的